Determine a derivada de cada uma das funções abaixo, utilizando a definição f^prime(x)=lim h 0 f(x+h)-f(x)h.
f(x)=x^2+2 x+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^2+2x+1
utilizando a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Aqui o conteúdo é aplicar o quociente incremental e simplificar um polinômio.

Passo 2

Calcular f(x+h):
f(x+h)=(x+h)^2+2(x+h)+1
Expandindo o quadrado e os termos lineares, obtemos
f(x+h)=x^2+2xh+h^2+2x+2h+1

Passo 3

Formar a diferença f(x+h)-f(x) e dividir por h:
f(x+h)-f(x)=l(x^2+2xh+h^2+2x+2h+1r)-l(x^2+2x+1r) =2xh+h^2+2h,
então
f(x+h)-f(x)h =2xh+h^2+2hh =2x+h+2

Passo 4

Aplicar o limite quando hto0:
f'(x) =limhto0l(2x+h+2r) =2x+2

Resposta

f'(x)=2x+2

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