Considere a curva C dada pela pela equação 3 y^2-x^2-sen(x-y)=8. Determine a equação da reta tangente a C no ponto (2,2).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
3y^2-x^2-sin(x-y)=8
e pede a reta tangente em (2,2). Vamos usar diferenciação implícita para encontrar dfracdydx e depois montar a equação da reta tangente.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
3y^2-x^2-sin(x-y)=8
com respeito a x, temos:
  • A derivada de 3y^2 é 6y,dfracdydx.
  • A derivada de -x^2 é -2x.
  • A derivada de -sin(x-y) é -cos(x-y)cdotdfracddx(x-y). E dfracddx(x-y)=1-dfracdydx.
    Logo,
6y,dydx-2x -cos(x-y)l(1-dydxr)=0

Passo 3

Isolando dfracdydx na equação
6y,y' -2x -cos(x-y),(1-y')=0,
obtemos
6y,y' -2x -cos(x-y) +cos(x-y),y' = 0 Longrightarrow l(6y +cos(x-y)r)y' = 2x +cos(x-y)
portanto
y' = 2x +cos(x-y)6y +cos(x-y)

Passo 4

No ponto (2,2) temos x-y=2-2=0 e cos(0)=1. Substituindo em
y' = 2x +cos(x-y)6y +cos(x-y),
vem
y'l|(2,2) = 2cdot2 +16cdot2 +1 = 513

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto (2,2) com coeficiente angular m=tfrac513 é
y-2 = 513(x-2)

Resposta

y-2 = 513(x-2)

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