Considere a curva C:\left(t, t^{2}, t^{2}\right), com 1 \leq t \leq 4. Determine as componentes tangencial e normal da aceleração no instante t

Passo 1

O enunciado dá a curva espacial
\mathbf r(t)=\bigl(t,\;t^2,\;t^2\bigr),
para 1\le t\le4, e pede as componentes tangencial e normal da aceleração. Vamos usar as definições
a_T=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{\|\mathbf v\|}, \qquad a_N=\frac{\|\mathbf v\times\mathbf a\|}{\|\mathbf v\|},
onde \mathbf v=\mathbf r'(t) e \mathbf a=\mathbf r''(t).

Passo 2

Calcular a velocidade \mathbf v(t) e a aceleração \mathbf a(t):
\mathbf v(t)=\mathbf r'(t)=\bigl(1,\;2t,\;2t\bigr),
\mathbf a(t)=\mathbf r''(t)=\bigl(0,\;2,\;2\bigr).
Também é útil o módulo da velocidade:
\|\mathbf v(t)\|=\sqrt{1+(2t)^2+(2t)^2} =\sqrt{1+8t^2}.

Passo 3

Calcular o produto escalar \mathbf v\cdot\mathbf a:
\mathbf v(t)\cdot\mathbf a(t) =1\cdot0+2t\cdot2+2t\cdot2 =8t.

Passo 4

Obter a componente tangencial da aceleração:
a_T=\frac{\mathbf v\cdot\mathbf a}{\|\mathbf v\|} =\frac{8t}{\sqrt{1+8t^2}}.

Passo 5

Calcular o produto vetorial \mathbf v\times\mathbf a e sua norma:
\mathbf v(t)\times\mathbf a(t) =\begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 1 & 2t & 2t\\\\ 0 & 2 & 2 \end{vmatrix} =(0)\,\mathbf i-2\,\mathbf j+2\,\mathbf k,
\|\mathbf v\times\mathbf a\| =\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2} =2\sqrt2.
Logo, a componente normal é
a_N=\frac{\|\mathbf v\times\mathbf a\|}{\|\mathbf v\|} =\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1+8t^2}}.

Resposta

a_T=\displaystyle \frac{8t}{\sqrt{1+8t^2}},\quad a_N=\displaystyle \frac{2\sqrt2}{\sqrt{1+8t^2}}.

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