1. Determine expressões para as componentes tangencial e normal da aceleração e para a curvatura da curva F(t)=(t \cos (t), t \operatorname{sen}(t)).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
F(t) = \bigl(t\cos t,\;t\operatorname{sen} t\bigr)
e pede as componentes tangencial e normal da aceleração e a curvatura.
Conteúdo necessário: derivar vetores para obter velocidade v(t) e aceleração a(t), usar
a_T = \frac{d}{dt}\|v(t)\|,\quad a_N = \frac{\|\,v(t)\times a(t)\|}{\|v(t)\|},\quad \kappa = \frac{\|\,v(t)\times a(t)\|}{\|v(t)\|^3}.

Passo 2

Calcular a velocidade e seu módulo:
v(t) = F'(t) = \bigl(\cos t - t\operatorname{sen} t,\;\operatorname{sen} t + t\cos t\bigr),
\|v(t)\| = \sqrt{(\cos t - t\operatorname{sen} t)^2 + (\operatorname{sen} t + t\cos t)^2} = \sqrt{1 + t^2}.

Passo 3

Calcular a aceleração:
a(t) = v'(t) = \bigl(-2\operatorname{sen} t - t\cos t,\;2\cos t - t\operatorname{sen} t\bigr).

Passo 4

Componente tangencial da aceleração:
a_T = \frac{d}{dt}\|v(t)\| = \frac{d}{dt}\sqrt{1 + t^2} = \frac{t}{\sqrt{1 + t^2}}.

Passo 5

Produto “cruzado” (em módulo) em 2D e componente normal:
v_x a_y - v_y a_x = 2 + t^2,
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a_N = \frac{\|\,v(t)\times a(t)\|}{\|v(t)\|} = \frac{2 + t^2}{\sqrt{1 + t^2}}.

Passo 6

Curvatura:
\kappa = \frac{\|\,v(t)\times a(t)\|}{\|v(t)\|^3} = \frac{2 + t^2}{\bigl(1 + t^2\bigr)^{3/2}}.

Resposta

a_T(t) = \dfrac{t}{\sqrt{1 + t^2}}, a_N(t) = \dfrac{2 + t^2}{\sqrt{1 + t^2}}, \displaystyle \kappa(t) = \frac{2 + t^2}{(1 + t^2)^{3/2}}.

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