Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que as sequências convergem:
c_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} (n radicais)

Passo 1

O enunciado define a sequência
c_{1} = \sqrt{2}, \quad c_{n+1} = \sqrt{2 + c_{n}}.
Queremos mostrar, usando o Teorema da Sequência Monótona, que (c_{n}) converge. Para isso vamos demonstrar que (c_{n}) é monótona crescente e limitada acima, e então aplicar o teorema.

Passo 2

Mostramos que (c_{n}) é crescente, isto é, c_{n+1}>c_{n} para todo n.
Base ( n=1):
c_{1} = \sqrt{2}\approx1,414,\qquad c_{2} = \sqrt{2+\sqrt{2}}\approx1,847,
logo c_{2}>c_{1}.
Passo indutivo: suponha c_{n}>c_{n-1}. Então
c_{n+1} = \sqrt{2 + c_{n}} > \sqrt{2 + c_{n-1}} = c_{n}.
Assim, por indução, (c_{n}) é crescente.

Passo 3

Mostramos que (c_{n}) é limitada acima por 2, isto é, c_{n}<2 para todo n.
Base ( n=1):
c_{1} = \sqrt{2}<2.
Passo indutivo: suponha c_{n}<2. Então
c_{n+1} = \sqrt{2 + c_{n}} < \sqrt{2 + 2} =2.
Logo, por indução, c_{n}<2 para todo n.

Passo 4

Como (c_{n}) é crescente e limitada acima, pelo Teorema da Sequência Monótona ela converge. Seja
\displaystyle L = \lim_{n\to\infty}c_{n}.

Passo 5

Passando ao limite na relação de recursão c_{n+1} = \sqrt{2 + c_{n}}, obtemos
L = \sqrt{2 + L}.
Elevando ao quadrado,
L^{2} = 2 + L \quad\Longrightarrow\quad L^{2} - L - 2 = 0.
As raízes são L = 2 ou L = -1. Como c_{n}>0, descartamos -1 e ficamos com
L = 2.

Resposta

A sequência (c_{n}) converge e seu limite é 2.

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