Use o Teorema da Sequência Monótona para mostrar que as sequências convergem:
(n radicais)
Passo 1
O enunciado define a sequência
Queremos mostrar, usando o Teorema da Sequência Monótona, que
converge. Para isso vamos demonstrar que
é monótona crescente e limitada acima, e então aplicar o teorema.
Passo 2
Mostramos que
é crescente, isto é,
para todo
.
Base ( ):
Base (
logo
.
Passo indutivo: suponha . Então
Passo indutivo: suponha
Assim, por indução,
é crescente.
Passo 3
Mostramos que
é limitada acima por
, isto é,
para todo
.
Base ( ):
Base (
Passo indutivo: suponha
. Então
Logo, por indução,
para todo
.
Passo 4
Como
é crescente e limitada acima, pelo Teorema da Sequência Monótona ela converge. Seja
Passo 5
Passando ao limite na relação de recursão
, obtemos
Elevando ao quadrado,
As raízes são
ou
. Como
, descartamos
e ficamos com
Resposta
A sequência
converge e seu limite é
.