Considere a curva
, obtida como interseção do hiperboloide
com o plano
.
a) Determine uma parametrização para
.
b) Determine a equação da reta tangente a
, no ponto
.
a) Determine uma parametrização para
b) Determine a equação da reta tangente a
Passo 1
O enunciado pede a curva
que é a interseção do hiperboloide
com o plano
. Precisamos:
- Encontrar uma parametrização de
. - Determinar a reta tangente a
no ponto .
Passo 2
Como
na interseção, substituímos em
:
Isso mostra que
é o círculo de raio
contido no plano
.
Passo 3
Uma parametrização padrão desse círculo é
com
. Isso satisfaz
e
.
Passo 4
Para verificar que o ponto
está em
, basta achar
tal que
Isso ocorre em
, pois
e
.
Passo 5
O vetor tangente é dado por
Em
obtemos
Passo 6
A reta tangente em
tem ponto
e direção
. Assim, sua forma paramétrica é
Resposta
a)
,
.
b) ,
.
b)