Considere a curva C, obtida como interseção do hiperboloide x^2+y^2-z^2=4 com o plano z=1.
a) Determine uma parametrização para C.
b) Determine a equação da reta tangente a C, no ponto (0, raiz5, 1).

Passo 1

O enunciado pede a curva C que é a interseção do hiperboloide
x^2+y^2-z^2=4
com o plano z=1. Precisamos:
  1. Encontrar uma parametrização de C.
  2. Determinar a reta tangente a C no ponto (0,raiz5,1).

Passo 2

Como z=1 na interseção, substituímos em x^2+y^2-z^2=4:
x^2+y^2-1^2=4 Longrightarrow x^2+y^2=5
Isso mostra que C é o círculo de raio raiz5 contido no plano z=1.

Passo 3

Uma parametrização padrão desse círculo é
r(t)=l(raiz5cos t,;raiz5sin t,;1r),
com tin[0,2pi). Isso satisfaz l(raiz5cos tr)^2+l(raiz5sin tr)^2=5 e z=1.

Passo 4

Para verificar que o ponto (0,raiz5,1) está em r(t), basta achar t tal que
raiz5cos t = 0, raiz5sin t = raiz5
Isso ocorre em t=tfracpi2, pois cos(pi/2)=0 e sin(pi/2)=1.

Passo 5

O vetor tangente é dado por
r'(t)=l(-raiz5sin t,;raiz5cos t,;0r)
Em t=tfracpi2 obtemos
r'l(tfracpi2r) =l(-raiz5cdot1,;raiz5cdot0,;0r) =(-raiz5,,0,,0)

Passo 6

A reta tangente em (0,raiz5,1) tem ponto P0=(0,raiz5,1) e direção v=(-raiz5,0,0). Assim, sua forma paramétrica é
ell(s)=P0+s,v =(0,raiz5,1)+s,(-raiz5,0,0) =l(-sraiz5,;raiz5,;1r)

Resposta

a) r(t)=l(raiz5cos t,;raiz5sin t,;1r), 0<= t<2pi.
b) ell(s)=l(-sraiz5,;raiz5,;1r), sinR.

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