A temperatura num ponto
do plano é dada por
.
a) Calcule a derivada direcional no ponto ( 2,1 ), no sentido do vetor que faz um ângulo de
com o semi-eixo positivo dos
.
b) Em que direção, a partir de ( 2,1 ), é máxima a derivada direcional?
c) Qual o valor desse máximo?
a) Calcule a derivada direcional no ponto ( 2,1 ), no sentido do vetor que faz um ângulo de
b) Em que direção, a partir de ( 2,1 ), é máxima a derivada direcional?
c) Qual o valor desse máximo?
Passo 1
O enunciado nos dá a função de temperatura
e pede: a derivada direcional em
na direção que faz
com o eixo
, a direção em que essa derivada é máxima e o valor máximo. Para resolver, vamos usar o gradiente de
, pois a derivada direcional em qualquer direção unitária
é
e o crescimento máximo ocorre na direção de
.
Passo 2
Calculamos o gradiente
usando a regra do quociente. Como
temos
Passo 3
Em
temos
e
. Logo
Portanto
Passo 4
Para (a), a direção unitária que faz
com o eixo
é
A derivada direcional é
Passo 5
Para (b), o crescimento máximo ocorre na direção de
. A unidade nessa direção é
Passo 6
Para (c), o valor máximo da derivada direcional é a norma de
:
Resposta
a)
b) Direção unitária
c)
b) Direção unitária
c)