A temperatura num ponto (x, y) do plano é dada por T(x, y)=x yx^2+y^2.
a) Calcule a derivada direcional no ponto ( 2,1 ), no sentido do vetor que faz um ângulo de 60^circ com o semi-eixo positivo dos x.
b) Em que direção, a partir de ( 2,1 ), é máxima a derivada direcional?
c) Qual o valor desse máximo?

Passo 1

O enunciado nos dá a função de temperatura
T(x,y)=xyx^2+y^2
e pede: a derivada direcional em (2,1) na direção que faz 60^circ com o eixo x, a direção em que essa derivada é máxima e o valor máximo. Para resolver, vamos usar o gradiente de T, pois a derivada direcional em qualquer direção unitária u é
DuT(x,y)=nabla T(x,y)cdotu
e o crescimento máximo ocorre na direção de nabla T.

Passo 2

Calculamos o gradiente nabla T=(partialxT,partialyT) usando a regra do quociente. Como
T(x,y)=xyx^2+y^2,
temos
partialxT =y(x^2+y^2)-xycdot2x(x^2+y^2)^2 =y(y^2-x^2)(x^2+y^2)^2,
partialyT =x(x^2+y^2)-xycdot2y(x^2+y^2)^2 =x(x^2-y^2)(x^2+y^2)^2

Passo 3

Em (2,1) temos x^2+y^2=5 e (x^2+y^2)^2=25. Logo
partialxT(2,1) =1,(1-4)25 =-325, partialyT(2,1) =2,(4-1)25 =625
Portanto
labelgrad nabla T(2,1)=l(-tfrac325,tfrac625r)

Passo 4

Para (a), a direção unitária que faz 60^circ com o eixo x é
u=(cos60^circ,sin60^circ) =l(tfrac12,tfracraiz32r)
A derivada direcional é
DuT(2,1) =nabla T(2,1)cdotu =l(-tfrac325r)tfrac12 +l(tfrac625r)tfracraiz32 =-3+6raiz350

Passo 5

Para (b), o crescimento máximo ocorre na direção de nabla T(2,1). A unidade nessa direção é
umax =nabla T(2,1)|nabla T(2,1)| =l(-tfrac325,tfrac625r) raizl(-tfrac325r)^2+l(tfrac625r)^2 =l(-tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r)

Passo 6

Para (c), o valor máximo da derivada direcional é a norma de nabla T(2,1):
|nabla T(2,1)| =raizl(-tfrac325r)^2+l(tfrac625r)^2 =3raiz525

Resposta

a) -3+6raiz350
b) Direção unitária l(-tfrac1raiz5,tfrac2raiz5r)
c) 3raiz525

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