Considere a curva dada por
Determine a derivada de
e encontre o vetor tangente unitário no ponto onde
.
Determine a derivada de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma curva dada por $ r(t) = \left\langle e^{3 t}, t^{4}, 2 \sin(t) \right\rangle $. O objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função vetorial e, depois, descobrir o vetor tangente unitário no ponto onde $ t = 0 $. Para isso, vamos precisar conhecer como derivar funções vetoriais e como calcular vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ r(t) $. A derivada de uma função vetorial é simplesmente a derivada de cada uma de suas componentes. Então, temos:
Derivando cada componente em relação a $ t $:
- A derivada de $ e^{3t} $ é $ 3 e^{3t} $ (usamos a regra da cadeia aqui).
- A derivada de $ t^{4} $ é $ 4 t^{3} $.
- A derivada de $ 2 \sin(t) $ é $ 2 \cos(t) $.
Então, a derivada $ r’(t) $ fica:
Passo 3
Agora que temos a derivada, vamos encontrar o vetor tangente no ponto onde $ t = 0 $. Primeiro, substituímos $ t = 0 $ na derivada que acabamos de encontrar:
Passo 4
O próximo passo é transformar esse vetor tangente em um vetor unitário. Um vetor unitário é aquele que tem módulo igual a 1. Para isso, dividimos cada componente do vetor pelo seu módulo.
Primeiro, calculamos o módulo de $ r’(0) $:
Então, o vetor tangente unitário $ T(0) $ é:
Resposta
O vetor tangente unitário no ponto onde $ t = 0 $ é $ \left\langle \dfrac{3}{\sqrt{13}},\ 0,\ \dfrac{2}{\sqrt{13}} \right\rangle $.