Considere a curva dada por
Calcule
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Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma curva definida pela função vetorial $ r(t) = \left\langle e^{3 t}, t^{4}, 2 \sin(t) \right\rangle $ e precisamos calcular a integral dessa função em relação a $ t $, ou seja, $ \int r(t) , dt $. Isso faz parte da matéria de Cálculo Vetorial, onde aprendemos a integrar funções vetoriais componente a componente. Vamos precisar conhecer as regras básicas de integração para funções exponenciais, polinomiais e trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira componente da função vetorial: $ e^{3 t} $. A gente sabe que a integral de $ e^{kt} $ em relação a $ t $ é $ \frac{1}{k} e^{kt} + C $, onde $ C $ é a constante de integração. No nosso caso, $ k = 3 $, então:
Passo 3
Agora, vamos para a segunda componente: $ t^{4} $. Para integrar uma função polinomial, usamos a regra de potência, que diz que $ \int t^{n} , dt = \frac{1}{n+1} t^{n+1} + C $, onde $ n \neq -1 $. Aqui, $ n = 4 $, então:
Passo 4
Por último, temos a terceira componente: $ 2 \sin(t) $. A integral de $ \sin(t) $ é $ -\cos(t) $, então multiplicando pelo 2:
Resposta
Juntando todas as integrais das componentes, a integral da função vetorial $ r(t) $ é:
Onde $ C_1 $, $ C_2 $ e $ C_3 $ são constantes de integração.