Determine, caso existam, os seguintes limites:
lim (x, y) (0,0) 6 x y^2raizx^2+y^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função 6xy^2raizx^2+y^2 quando o ponto (x, y) se aproxima de (0, 0). Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis, e para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta à medida que nos aproximamos do ponto de origem por diferentes caminhos.

Passo 2

Uma maneira eficiente de resolver esse tipo de limite é transformar as coordenadas cartesianas (x, y) em coordenadas polares (r, theta). Nas coordenadas polares, temos as relações:
x = rcostheta e y = rsintheta
onde r representa a distância até a origem e theta é o ângulo com o eixo x.

Passo 3

Vamos substituir x e y na função original utilizando as equações das coordenadas polares:
6xy^2raizx^2+y^2 = 6(rcostheta)(rsintheta)^2raiz(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2

Passo 4

Simplificando o denominador:
raiz(rcostheta)^2 + (rsintheta)^2 = raizr^2cos^2theta + r^2sin^2theta = raizr^2(cos^2theta + sin^2theta) = raizr^2 = r
Lembrando que cos^2theta + sin^2theta = 1.

Passo 5

Agora, substituindo de volta na função:
6(rcostheta)(rsintheta)^2r = 6r^3costheta sin^2thetar = 6r^2costheta sin^2theta

Passo 6

Vamos analisar o limite quando r 0. Como costheta e sintheta estão sempre entre -1 e 1, temos:
|6r^2costheta sin^2theta| <= 6r^2 times 1 times 1 = 6r^2
Isso significa que o valor absoluto da expressão é menor ou igual a 6r^2.

Passo 7

À medida que r se aproxima de 0, 6r^2 também se aproxima de 0. Pelo teorema do sanduíche (ou teorema da desigualdade), se uma função está limitada por outra que tende a zero, então a função original também tende a zero.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) 6 x y^2raizx^2+y^2 é igual a 0.

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