Determine, caso existam, os seguintes limites:
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite da função
quando o ponto
se aproxima de
. Isso faz parte do estudo de limites em funções de duas variáveis, e para resolver, vamos precisar analisar como a função se comporta à medida que nos aproximamos do ponto de origem por diferentes caminhos.
Passo 2
Uma maneira eficiente de resolver esse tipo de limite é transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas polares
. Nas coordenadas polares, temos as relações:
onde
representa a distância até a origem e
é o ângulo com o eixo
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na função original utilizando as equações das coordenadas polares:
Passo 4
Simplificando o denominador:
Lembrando que
.
Passo 5
Agora, substituindo de volta na função:
Passo 6
Vamos analisar o limite quando
. Como
e
estão sempre entre -1 e 1, temos:
Isso significa que o valor absoluto da expressão é menor ou igual a
.
Passo 7
À medida que
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Pelo teorema do sanduíche (ou teorema da desigualdade), se uma função está limitada por outra que tende a zero, então a função original também tende a zero.
Resposta
O limite
é igual a
.