Considere a curva dada por 2 x^{2}+y^{3}=4 x y+2.
(0,75) Em um ponto (x, y) em que y^{\prime} existe, a expressão que representa y^{\prime} é:
a) \frac{4 x+3 y^{2}-4 y}{4 x}
b) \frac{-4 x}{3 y^{2}-4}
c) \frac{4 y-4 x}{3 y^{2}-4}
d) \frac{-4 x}{3 y^{2}-4 x}
e) \frac{4 y-4 x}{3 y^{2}-4 x}
Passo 1
O enunciado dá a curva definida pela equação
2x^{2}+y^{3}=4xy+2
e pede: “Em um ponto (x,y) em que y' existe, qual é a expressão que representa y'?”\n
Informações relevantes do enunciado:
\begin{cases} \text{Equação implícita: }2x^{2}+y^{3}=4xy+2,\\[4pt] \text{Queremos a derivada }y'=\dfrac{dy}{dx}\text{ em termos de }x\text{ e }y,\\[4pt] \text{assume-se que }y'\text{ existe no ponto (ou seja, nenhuma divisão por zero ocorre).} \end{cases}]
Passo 2
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Antes de fazer as contas, reviso rapidamente duas regras que usamos aqui:
Regra da cadeia (quando derivamos y^{3} e y depende de x): se y=y(x), então
\frac{d}{dx}\big(y^{3}\big)=3y^{2}\cdot y'.
Explicação curta com exemplo: se y(x)=x^{2}, então y^{3}=(x^{2})^{3}=x^{6} e \tfrac{d}{dx}x^{6}=6x^{5}. Pela fórmula 3y^{2}y' temos 3(x^{2})^{2}\cdot 2x=3x^{4}\cdot 2x=6x^{5}, bate certinho.
Regra do produto (para derivar 4xy porque é constante vezes o produto x\cdot y(x)): para u(x)=x e v(x)=y(x),
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\cdot y' + y\cdot 1 = x y' + y.
Exemplo rápido: se y=x^{2}, então \frac{d}{dx}(x\cdot x^{2})=\frac{d}{dx}x^{3}=3x^{2}; usando produto: x\cdot 2x + x^{2}\cdot 1 =2x^{2}+x^{2}=3x^{2}.
Agora aplico as derivadas termo a termo à equação 2x^{2}+y^{3}=4xy+2:
\dfrac{d}{dx}\big(2x^{2}\big)=4x.
\dfrac{d}{dx}\big(y^{3}\big)=3y^{2}y' (regra da cadeia).
Agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os outros do outro lado. Subtraindo 4x y' de ambos os lados e subtraindo 4x de ambos os lados, obtemos:
3y^{2}y' - 4x y' = 4y - 4x.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\big(3y^{2} - 4x\big) = 4y - 4x.
Isto é uma equação linear em y'. Note que para podermos isolar y' precisamos que o fator 3y^{2}-4x seja diferente de zero — essa é a condição implícita de existência da derivada no ponto.
Passo 4
Isolando y' (dividindo ambos os lados por 3y^{2}-4x, que deve ser diferente de zero) obtemos a expressão de y'. A resposta final está abaixo.