A superfície de uma montanha pode ser modelada pelo gráfico da função
f(x, y)=1200-3 x^{2}-2 y^{2}
onde a distância é em metros, o eixo x aponta para o leste e o eixo y aponta para o norte. Um alpinista está no ponto de coordenadas ( -10,5,850 ).
(a) Qual a direção (como vetor unitário) onde a subida é mais íngreme?
(b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(c) Se o alpinista se move na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?

Passo 1

O enunciado dá a superfície da montanha pelo gráfico da função
f(x,y)=1200-3x^{2}-2y^{2},
com distância em metros, o eixo x apontando para o leste e o eixo y apontando para o norte. O alpinista está no ponto de coordenadas (-10,5,850).\n
As perguntas são:
(a) Qual a direção (como vetor unitário) onde a subida é mais íngreme?
(b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(c) Se o alpinista se move na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
f(x,y)=1200-3x^{2}-2y^{2},
o ponto no domínio é (x,y)=(-10,5) (a cota 850 é a altura e serve para consistência), e as direções mencionadas (leste, sudoeste) correspondem a vetores no plano xy.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar: as derivadas parciais e o gradiente.\n
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial x} mede a taxa de variação de f quando variamos x e mantemos y fixo; é a inclinação da superfície na direção leste-oeste.
  • A derivada parcial \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a taxa de variação de f quando variamos y e mantemos x fixo; é a inclinação da superfície na direção norte-sul.\n
    O gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\;\dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Propriedades importantes (explicação): o vetor \nabla f aponta na direção de subida mais íngreme no plano horizontal (direção no plano xy) e o valor da taxa máxima de subida é o comprimento \|\nabla f\|. Se quisermos a direção como vetor unitário, devemos normalizar \nabla f (dividir pelo seu comprimento).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f.\n
Derivando termo a termo:
\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(1200-3x^{2}-2y^{2}\bigr) = -6x,
\dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(1200-3x^{2}-2y^{2}\bigr) = -4y.
Portanto, o gradiente é
\nabla f(x,y)=(-6x,\,-4y).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (x,y)=(-10,5).\n
Substituindo:
\nabla f(-10,5)=\bigl(-6\cdot(-10),\;-4\cdot5\bigr)=(60,\,-20).
Interpretação: no ponto onde o alpinista está, o vetor (60,-20) aponta na direção do aumento mais rápido da altura sobre o plano xy; o primeiro componente 60 é a taxa instantânea de subida se eu me mover puramente para o leste (componente x), e a segunda componente -20 é a taxa instantânea de subida se eu me mover puramente para o norte (componente y) — note que é negativa, então mover para norte tende a descer aí.

Passo 5

Encontrar o vetor unitário na direção do gradiente (direção de subida mais íngreme).\n
Primeiro calculamos o comprimento de \nabla f(-10,5):
\|\nabla f(-10,5)\|=\sqrt{60^{2}+(-20)^{2}}=\sqrt{3600+400}=\sqrt{4000}=20\sqrt{10}.
Agora normalizamos dividindo o gradiente pelo seu comprimento:
\text{vetor unitário}=\dfrac{1}{20\sqrt{10}}\,(60,\,-20)=\left(\dfrac{60}{20\sqrt{10}},\;\dfrac{-20}{20\sqrt{10}}\right)=\left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},\;-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right).á
Esse é o vetor unitário que aponta na direção onde a subida é mais íngreme no ponto dado.

Passo 6

Parte (b): movimento na direção leste.\n
Direção leste corresponde ao vetor unitário
\mathbf{u}_{\text{leste}}=(1,0).
A taxa de variação da altura na direção \mathbf{u} (derivada direcional) é dada por
D_{\mathbf{u}}f(x,y)=\nabla f(x,y)\cdot\mathbf{u}.
No ponto (-10,5):
D_{\mathbf{u}_{\text{leste}}}f(-10,5)=(60,-20)\cdot(1,0)=60.
Interpretação: o valor positivo indica que o alpinista está subindo ao mover-se para o leste, e a taxa de subida é de 60 metros de elevação para cada metro percorrido horizontalmente (ou seja, 60 m/m).

Passo 7

Parte (c): movimento na direção sudoeste.\n
Sudoeste é a direção exatamente entre sul e oeste, ou seja, no plano xy o vetor direção é (-1,-1). O vetor unitário nessa direção é
\mathbf{u}_{\text{sudoeste}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(-1,-1)=\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\;-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right).
Calculemos a derivada direcional:
D_{\mathbf{u}_{\text{sudoeste}}}f(-10,5)=(60,-20)\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigl(60\cdot(-1)+(-20)\cdot(-1)\bigr).
Fazendo as contas:
60\cdot(-1)+(-20)\cdot(-1)=-60+20=-40,
portanto
D_{\mathbf{u}_{\text{sudoeste}}}f(-10,5)=\dfrac{-40}{\sqrt{2}}=-20\sqrt{2}.
Interpretação: o valor negativo indica que o alpinista está descendo ao mover-se na direção sudoeste. A taxa de descida é |-20\sqrt{2}|=20\sqrt{2} metros de elevação perdida por metro percorrido horizontalmente (aproximadamente 20\sqrt{2}\approx28{,}28 m/m).

Resposta

(a) \left(\dfrac{3}{\sqrt{10}},\;-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)
(b) Está subindo; taxa 60 (metros de elevação por metro percorrido)
(c) Está descendo; taxa -20\sqrt{2} (a magnitude da descida é 20\sqrt{2} metros por metro)

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