A superfície de uma montanha pode ser modelada pelo gráfico da função
onde a distância é em metros, o eixo
aponta para o leste e o eixo
aponta para o norte. Um alpinista está no ponto de coordenadas (
).
(a) Qual a direção (como vetor unitário) onde a subida é mais íngreme?
(b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(c) Se o alpinista se move na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(a) Qual a direção (como vetor unitário) onde a subida é mais íngreme?
(b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(c) Se o alpinista se move na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
Passo 1
O enunciado dá a superfície da montanha pelo gráfico da função
com distância em metros, o eixo
apontando para o leste e o eixo
apontando para o norte. O alpinista está no ponto de coordenadas
.\n
As perguntas são:
(a) Qual a direção (como vetor unitário) onde a subida é mais íngreme?
(b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(c) Se o alpinista se move na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
As perguntas são:
(a) Qual a direção (como vetor unitário) onde a subida é mais íngreme?
(b) Se o alpinista se move na direção leste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?
(c) Se o alpinista se move na direção sudoeste, ele está subindo ou descendo, e qual a sua taxa?\n
Informações relevantes que temos do enunciado:
o ponto no domínio é
(a cota
é a altura e serve para consistência), e as direções mencionadas (leste, sudoeste) correspondem a vetores no plano
.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar: as derivadas parciais e o gradiente.\n
- A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando variamos e mantemos fixo; é a inclinação da superfície na direção leste-oeste. - A derivada parcial
mede a taxa de variação de quando variamos e mantemos fixo; é a inclinação da superfície na direção norte-sul.\n
O gradiente deé o vetor formado pelas derivadas parciais:
Propriedades importantes (explicação): o vetor
aponta na direção de subida mais íngreme no plano horizontal (direção no plano
) e o valor da taxa máxima de subida é o comprimento
. Se quisermos a direção como vetor unitário, devemos normalizar
(dividir pelo seu comprimento).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.\n
Derivando termo a termo:
Derivando termo a termo:
Portanto, o gradiente é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.\n
Substituindo:
Substituindo:
Interpretação: no ponto onde o alpinista está, o vetor
aponta na direção do aumento mais rápido da altura sobre o plano
; o primeiro componente
é a taxa instantânea de subida se eu me mover puramente para o leste (componente
), e a segunda componente
é a taxa instantânea de subida se eu me mover puramente para o norte (componente
) — note que é negativa, então mover para norte tende a descer aí.
Passo 5
Encontrar o vetor unitário na direção do gradiente (direção de subida mais íngreme).\n
Primeiro calculamos o comprimento de :
Primeiro calculamos o comprimento de
Agora normalizamos dividindo o gradiente pelo seu comprimento:
Esse é o vetor unitário que aponta na direção onde a subida é mais íngreme no ponto dado.
Passo 6
Parte (b): movimento na direção leste.\n
Direção leste corresponde ao vetor unitário
Direção leste corresponde ao vetor unitário
A taxa de variação da altura na direção
(derivada direcional) é dada por
No ponto
:
Interpretação: o valor positivo indica que o alpinista está subindo ao mover-se para o leste, e a taxa de subida é de
metros de elevação para cada metro percorrido horizontalmente (ou seja,
m/m).
Passo 7
Parte (c): movimento na direção sudoeste.\n
Sudoeste é a direção exatamente entre sul e oeste, ou seja, no plano o vetor direção é
. O vetor unitário nessa direção é
Sudoeste é a direção exatamente entre sul e oeste, ou seja, no plano
Calculemos a derivada direcional:
Fazendo as contas:
portanto
Interpretação: o valor negativo indica que o alpinista está descendo ao mover-se na direção sudoeste. A taxa de descida é
metros de elevação perdida por metro percorrido horizontalmente (aproximadamente
m/m).
Resposta
(a)
(b) Está subindo; taxa (metros de elevação por metro percorrido)
(c) Está descendo; taxa (a magnitude da descida é
metros por metro)
(b) Está subindo; taxa
(c) Está descendo; taxa