Considere a curva C de equações paramétricas x=t, \quad y=\frac{2 \sqrt{2}}{3} t^{3 / 2}, \quad z=\frac{t^{2}}{2}, com t \geq 0, e o ponto P_{o}\left(2, \frac{8}{3}, 2\right). Determine:
o comprimento do trecho de C que vai do ponto P_{o} ao ponto Q\left(8, \frac{64}{3}, 32\right).

Passo 1

O enunciado dá a curva C por equações paramétricas (com t\ge 0):
x=t,\qquad y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2},\qquad z=\frac{t^{2}}{2}.
Fornece também dois pontos na curva:
  • P_{o}=\left(2,\frac{8}{3},2\right),
  • Q=\left(8,\frac{64}{3},32\right).
A pergunta é: calcular o comprimento do trecho de C que vai do ponto P_{o} ao ponto Q.

Passo 2

Qual método usar? Para comprimento de uma curva parametrizada em \mathbb{R}^3 por \big(x(t),y(t),z(t)\big) entre t=a e t=b usa-se a fórmula do comprimento por integral do módulo da velocidade:
L=\int_{a}^{b}\sqrt{\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^{2}+\biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^{2}+\biggl(\frac{dz}{dt}\biggr)^{2}}\;dt.
Explicação rápida e intuitiva: \frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt} são as componentes da velocidade da partícula que percorre a curva; o integrando é a sua norma (velocidade escalar), e integrar essa norma no intervalo de parâmetros dá o comprimento percorrido. Vou aplicar essa fórmula passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas em função de t.
Derivando x(t)=t:
\frac{dx}{dt}=1.
Derivando y(t)=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\,t^{3/2}.
Usa-se a regra potência: \dfrac{d}{dt}t^{3/2}=\dfrac{3}{2}t^{1/2}. Então
\frac{dy}{dt}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{3}{2}\,t^{1/2}=\sqrt{2}\,t^{1/2}.
(Observe que \dfrac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\dfrac{3}{2}=\sqrt{2}.)
Derivando z(t)=\dfrac{t^{2}}{2}:
\frac{dz}{dt}=t.

Passo 4

Montar o integrando: somar os quadrados das derivadas e tirar a raiz.
Calcule cada quadrado:
\biggl(\frac{dx}{dt}\biggr)^{2}=1^{2}=1, \qquad \biggl(\frac{dy}{dt}\biggr)^{2}=(\sqrt{2}\,t^{1/2})^{2}=2t, \qquad \biggl(\frac{dz}{dt}\biggr)^{2}=t^{2}.
Somando:
1+2t+t^{2}=(1+t)^{2}.
Portanto o integrando é
\sqrt{1+2t+t^{2}}=\sqrt{(1+t)^{2}}=|1+t|.
Como o parâmetro satisfaz t\ge 0, tem-se 1+t>0, logo |1+t|=1+t. Assim a velocidade escalar é simplesmente 1+t.

Passo 5

Determinar os limites de integração a e b correspondentes a P_{o} e Q.
Da parametrização x=t segue imediatamente que para P_{o} temos t=2 e para Q temos t=8. Podemos verificar rapidamente (opcional) que esses valores de t reproduzem y e z dos pontos:
\text{para }t=2:\; y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,2^{3/2}=\frac{8}{3},\; z=\frac{2^{2}}{2}=2;
\text{para }t=8:\; y=\frac{2\sqrt{2}}{3}\,8^{3/2}=\frac{64}{3},\; z=\frac{8^{2}}{2}=32.
Portanto integramos de t=2 até t=8.

Passo 6

Calcular o comprimento com a integral encontrada:
L=\int_{2}^{8}(1+t)\;dt.
Integrando term a term:
\int(1+t)\,dt = t+\frac{t^{2}}{2} + C.
Avalia de 2 a 8:
L=\Bigl(t+\frac{t^{2}}{2}\Bigr)\Big|_{2}^{8} =\Bigl(8+\frac{8^{2}}{2}\Bigr)-\Bigl(2+\frac{2^{2}}{2}\Bigr) =\Bigl(8+\frac{64}{2}\Bigr)-\Bigl(2+\frac{4}{2}\Bigr).
Calcule cada parte:
8+\frac{64}{2}=8+32=40, \qquad 2+\frac{4}{2}=2+2=4.
Logo
L=40-4=36.

Passo 7

Resumo final e dica prática: a integral simplificou muito porque a soma dos quadrados das derivadas resultou num quadrado perfeito (1+t)^{2}, o que é um truque que vale a pena procurar quando for calcular comprimentos de curvas (às vezes a expressão simplifica bastante). Força aí nos estudos — já era só uma integral direta no final!

Resposta

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