Determine equações paramétricas ou uma equação vetorial para:
o segmento de reta ligando o pontos A=(1,-2,3) ao ponto B=(0,5,6).

Passo 1

O enunciado pede para determinar equações paramétricas ou uma equação vetorial do segmento de reta que liga os pontos A=(1,-2,3) e B=(0,5,6).
Informações dadas:
  • Ponto inicial A = (1,-2,3).
  • Ponto final B = (0,5,6).
  • O que se quer: uma parametrização (ou equação vetorial) que percorra o segmento de reta de A até B.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática e intuitiva):
  • Um ponto qualquer no segmento entre A e B pode ser obtido como uma combinação entre A e B: quando o parâmetro t vale 0 deve dar A, quando t vale 1 deve dar B, e para t entre 0 e 1 obtemos os pontos intermediários.
  • Formalmente usa-se a forma vetorial
\mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}),\qquad 0\le t\le 1,
onde \mathbf{A} e \mathbf{B} são vetores posição dos pontos A e B. Isso dá exatamente o segmento entre A e B.

Passo 3

Calcular o vetor direção do segmento, que é \mathbf{B}-\mathbf{A}.
\mathbf{B}-\mathbf{A}=(0-1,\;5-(-2),\;6-3)=(-1,\;7,\;3).
Explanação: subtrai-se coordenada a coordenada para obter o vetor que “aponta” de A para B.

Passo 4

Escrever a equação vetorial usando o vetor posição de A e o vetor direção encontrado:
\mathbf{r}(t)=(1,-2,3)+t(-1,7,3),\qquad 0\le t\le 1.
Interpretação: quando t=0 temos \mathbf{r}(0)=(1,-2,3)=A; quando t=1 temos \mathbf{r}(1)=(0,5,6)=B. Para t entre 0 e 1 percorre-se todo o segmento.

Passo 5

Converter para equações paramétricas (se preferir coordenada a coordenada). A partir de \mathbf{r}(t)=(1,-2,3)+t(-1,7,3) obtemos:
x(t)=1 - t,
y(t)=-2 + 7t,
z(t)=3 + 3t, \qquad 0\le t\le 1.
Explicação: cada coordenada é a coordenada inicial mais t vezes a componente do vetor direção.

Passo 6

Verificação rápida dos extremos:
  • Para t=0: (x,y,z)=(1,-2,3)=A.
  • Para t=1: (x,y,z)=(0,5,6)=B.
    Isso confirma que a parametrização está correta e que, restringindo t a [0,1], obtém-se exatamente o segmento entre A e B.

Passo 7

Dica prática para a prova: lembrar sempre de (1) calcular \mathbf{B}-\mathbf{A} subtraindo coordenadas, (2) formar \mathbf{r}(t)=\mathbf{A}+t(\mathbf{B}-\mathbf{A}) e (3) restringir t a [0,1] para o segmento. Isso é rápido e seguro sem calculadora.

Resposta

\mathbf{r}(t)=(1,-2,3)+t(-1,7,3),\quad 0\le t\le 1
x(t)=1-t,\quad y(t)=-2+7t,\quad z(t)=3+3t,\quad 0\le t\le 1

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