Determine equações paramétricas ou uma equação vetorial para:
o segmento de reta ligando o pontos
ao ponto
.
o segmento de reta ligando o pontos
Passo 1
O enunciado pede para determinar equações paramétricas ou uma equação vetorial do segmento de reta que liga os pontos
e
.
Informações dadas:
- Ponto inicial
. - Ponto final
. - O que se quer: uma parametrização (ou equação vetorial) que percorra o segmento de reta de
até .
Passo 2
Ideia principal (explicação didática e intuitiva):
- Um ponto qualquer no segmento entre
e pode ser obtido como uma combinação entre e : quando o parâmetro vale deve dar , quando vale deve dar , e para entre e obtemos os pontos intermediários. - Formalmente usa-se a forma vetorial
onde
e
são vetores posição dos pontos
e
. Isso dá exatamente o segmento entre
e
.
Passo 3
Calcular o vetor direção do segmento, que é
.
Explanação: subtrai-se coordenada a coordenada para obter o vetor que “aponta” de
para
.
Passo 4
Escrever a equação vetorial usando o vetor posição de
e o vetor direção encontrado:
Interpretação: quando
temos
; quando
temos
. Para
entre
e
percorre-se todo o segmento.
Passo 5
Converter para equações paramétricas (se preferir coordenada a coordenada). A partir de
obtemos:
Explicação: cada coordenada é a coordenada inicial mais
vezes a componente do vetor direção.
Passo 6
Verificação rápida dos extremos:
- Para
: . - Para
: .
Isso confirma que a parametrização está correta e que, restringindoa , obtém-se exatamente o segmento entre e .
Passo 7
Dica prática para a prova: lembrar sempre de (1) calcular
subtraindo coordenadas, (2) formar
e (3) restringir
a
para o segmento. Isso é rápido e seguro sem calculadora.