Considere a curva C interseção do plano z=2 y com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
\oint_{C} y(1+z) d x+x d y+y z d z
Resp.: 0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
\oint_{C} y(1+z)\,dx + x\,dy + y z\,dz
onde C é a curva dada pela interseção do plano z=2y com o cilindro x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Informação importante que temos do enunciado:
  • A curva C é fechada (é a interseção de uma superfície e de um cilindro).
  • O plano é \,z=2y.
  • O cilindro é \,x^{2}+y^{2}=1, então a projeção de C sobre o plano xy é o círculo unitário \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\} com fronteira \partial D:\\ x^{2}+y^{2}=1, orientada no sentido anti-horário.
  • A integral envolve dx,dy,dz; como z está relacionado a x,y pelo plano, poderemos expressar dz em termos de dx,dy.

Passo 2

Estratégia (sem cálculos ainda): usar a relação do plano para eliminar z e dz, reduzindo a integral tridimensional a uma integral de linha no plano xy da forma \oint_{\partial D} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy. Em seguida aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha num integral dupla sobre a região D (o disco unitário). Vou explicar o Teorema de Green antes de aplicar.

Passo 3

O Teorema de Green (forma que vamos usar) diz o seguinte. Seja D uma região do plano xy com fronteira \partial D simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário). Se P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de D, então
\oint_{\partial D} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Interpretação rápida e suave: a integral de linha ao redor da borda é igual à soma (integral dupla) da “circulação local” \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} em cada ponto do interior. Aqui P é a função que multiplica dx e Q a que multiplica dy.

Passo 4

Expressar a integral em termos de x,y usando z=2y.
  • Como a curva C está no plano z=2y, ao nos movermos ao longo de C vale \,z=2y. Assim o diferencial dz ao longo de C é
dz = d(2y) = 2\,dy.
Isto é uma aplicação direta da regra da diferencial: se z é função z(y)=2y (aqui não depende de x), então pequenos incrementos satisfazem dz=2\,dy.
  • Substituindo z e dz na forma diferencial dada:
y(1+z)\,dx + x\,dy + y z\,dz = y\big(1+z\big)\,dx + x\,dy + y z\,(2\,dy).
Agora substituir z=2y:
y(1+2y)\,dx + x\,dy + y(2y)\,(2\,dy).
Calcule os termos passo a passo:
y(1+2y)\,dx = (y + 2y^{2})\,dx,
e
y(2y)\,(2\,dy) = 4y^{2}\,dy.
Então o coeficiente total de dy é x + 4y^{2}. Logo a integral sobre C é equivalente à integral sobre a fronteira \partial D (círculo unitário) de
P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy
com
P(x,y) = y + 2y^{2},\qquad Q(x,y) = x + 4y^{2}.

Passo 5

Aplicar o Teorema de Green: calcular \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
  • Derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(x + 4y^{2}\big) = 1,
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(y + 2y^{2}\big) = 1 + 4y.
  • A integranda do Green é
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - (1 + 4y) = -4y.
Portanto, pela fórmula de Green,
\oint_{C} y(1+z)\,dx + x\,dy + y z\,dz = \iint_{D} (-4y)\,dA,
onde D é o disco unitário \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le1\}.

Passo 6

Avaliar a integral dupla
\iint_{D} (-4y)\,dA.
Aqui uso um argumento de simetria bem simples: o domínio D (o disco centrado na origem) é simétrico em relação ao eixo x. Para cada ponto (x,y)\in D existe o ponto (x,-y)\in D com a mesma área diferencial dA, e o valor da função -4y nesses pontos é oposto (pois -4(-y) = 4y). Assim os valores positivos e negativos se cancelam em pares, logo a integral de uma função ímpar em y sobre uma região simétrica em y é zero. Em particular,
\iint_{D} y\,dA = 0 \quad\Rightarrow\quad \iint_{D} (-4y)\,dA = -4\cdot 0 = 0.
(Se preferir, poderia mudar para coordenadas polares e ver que o fator \sin\theta integra zero ao longo de \theta simetricamente.)

Passo 7

Portanto a integral de linha dada vale 0. Foi usado o fato de que a componente em dz pôde ser eliminada por dz=2dy e então o Teorema de Green transformou a integral de linha numa integral dupla cuja integranda é uma função ímpar em y sobre o disco simétrico, resultando em zero.

Resposta

0

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