Considere a curva
interseção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha
Resp.: 0.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
onde
é a curva dada pela interseção do plano
com o cilindro
, orientada no sentido anti-horário vista de cima. Informação importante que temos do enunciado:
- A curva
é fechada (é a interseção de uma superfície e de um cilindro). - O plano é
. - O cilindro é
, então a projeção de sobre o plano é o círculo unitário com fronteira , orientada no sentido anti-horário. - A integral envolve
; como está relacionado a pelo plano, poderemos expressar em termos de .
Passo 2
Estratégia (sem cálculos ainda): usar a relação do plano para eliminar
e
, reduzindo a integral tridimensional a uma integral de linha no plano
da forma
. Em seguida aplicar o Teorema de Green para transformar essa integral de linha num integral dupla sobre a região
(o disco unitário). Vou explicar o Teorema de Green antes de aplicar.
Passo 3
O Teorema de Green (forma que vamos usar) diz o seguinte. Seja
uma região do plano
com fronteira
simples, fechada e orientada positivamente (anti-horário). Se
e
têm derivadas parciais contínuas em uma vizinhança de
, então
Interpretação rápida e suave: a integral de linha ao redor da borda é igual à soma (integral dupla) da “circulação local”
em cada ponto do interior. Aqui
é a função que multiplica
e
a que multiplica
.
Passo 4
Expressar a integral em termos de
usando
.
- Como a curva
está no plano , ao nos movermos ao longo de vale . Assim o diferencial ao longo de é
Isto é uma aplicação direta da regra da diferencial: se
é função
(aqui não depende de
), então pequenos incrementos satisfazem
.
- Substituindo
e na forma diferencial dada:
Agora substituir
:
Calcule os termos passo a passo:
e
Então o coeficiente total de
é
. Logo a integral sobre
é equivalente à integral sobre a fronteira
(círculo unitário) de
com
Passo 5
Aplicar o Teorema de Green: calcular
e
.
- Derivadas parciais:
- A integranda do Green é
Portanto, pela fórmula de Green,
onde
é o disco unitário
.
Passo 6
Avaliar a integral dupla
Aqui uso um argumento de simetria bem simples: o domínio
(o disco centrado na origem) é simétrico em relação ao eixo
. Para cada ponto
existe o ponto
com a mesma área diferencial
, e o valor da função
nesses pontos é oposto (pois
). Assim os valores positivos e negativos se cancelam em pares, logo a integral de uma função ímpar em
sobre uma região simétrica em
é zero. Em particular,
(Se preferir, poderia mudar para coordenadas polares e ver que o fator
integra zero ao longo de
simetricamente.)
Passo 7
Portanto a integral de linha dada vale
. Foi usado o fato de que a componente em
pôde ser eliminada por
e então o Teorema de Green transformou a integral de linha numa integral dupla cuja integranda é uma função ímpar em
sobre o disco simétrico, resultando em zero.
Resposta
0