(2.5 points) Seja f(x, y)=2 x^{2} y+y^{3}. Determine o vetor unitário u de modo que a derivada direcional da f na direção do vetor u, no ponto (1,1), isto é, \frac{\partial f}{\partial u}(1,1) seja máxima. Qual o valor máximo de \frac{\partial f}{\partial u}(1,1) ? Estando-se no ponto (1,1), que direção e sentido deve-se tomar a fim que f cresça mais rapidamente?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
  • A função dada é f(x,y)=2x^{2}y+y^{3}.
  • O ponto onde vamos trabalhar é (1,1).
  • Perguntas:
    1. Determinar o vetor unitário u tal que a derivada direcional \dfrac{\partial f}{\partial u}(1,1) seja máxima.
    2. Determinar o valor máximo de \dfrac{\partial f}{\partial u}(1,1).
    3. Indicar, estando no ponto (1,1), qual direção e sentido se deve tomar para que f cresça mais rapidamente.

Passo 2

Definição e ideia-chave que vamos usar (explicação didática e sem pular passos).
  • A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor unitário u=(u_1,u_2) é dada por
\frac{\partial f}{\partial u}(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \cdot é o produto escalar.
  • O gradiente \nabla f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
  • Intuição: \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f; o produto escalar com um vetor unitário u dá a componente do crescimento nessa direção.
  • Para maximizar \nabla f\cdot u sob a restrição |u|=1 usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
\nabla f\cdot u \le |\nabla f|\,|u| = |\nabla f|,
com igualdade quando u é paralelo a \nabla f e no mesmo sentido. Ou seja, o máximo ocorre quando u é o gradiente normalizado.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f passo a passo.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial x}: tratar y como constante. A função é f(x,y)=2x^{2}y+y^{3}. A derivada de 2x^{2}y em relação a x é 2y vezes a derivada de x^{2}, que é 2x. Logo
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2y\cdot 2x=4xy.
  • Para \dfrac{\partial f}{\partial y}: tratar x como constante. A derivada de 2x^{2}y em relação a y é 2x^{2}. A derivada de y^{3} é 3y^{2}. Logo
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^{2}+3y^{2}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto (1,1).
  • Substituindo x=1 e y=1:
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=4\cdot 1\cdot 1=4, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2\cdot 1^{2}+3\cdot 1^{2}=2+3=5.
  • Portanto
\nabla f(1,1)=\bigl(4,5\bigr).

Passo 5

Encontrar o vetor unitário u que maximiza a derivada direcional e calcular o valor máximo (uso da ideia do Passo 2).
  • Pelo argumento de Cauchy–Schwarz do Passo 2, a derivada direcional \nabla f(1,1)\cdot u atinge seu máximo quando u é um vetor unitário paralelo a \nabla f(1,1) e no mesmo sentido. Logo u é o gradiente normalizado:
u=\frac{\nabla f(1,1)}{|\nabla f(1,1)|}=\frac{(4,5)}{\sqrt{4^{2}+5^{2}}}=\frac{(4,5)}{\sqrt{41}}.
  • O valor máximo da derivada direcional é o comprimento do gradiente:
\max_{|u|=1}\frac{\partial f}{\partial u}(1,1)=\bigl|\nabla f(1,1)\bigr|=\sqrt{4^{2}+5^{2}}=\sqrt{41}.

Passo 6

Interpretando a direção e o sentido pedidos.
  • A direção a seguir no ponto (1,1) para fazer f crescer mais rápido é a direção do vetor \nabla f(1,1)=(4,5).
  • O sentido é o mesmo do vetor (4,5) (ou seja, mover-se na direção em que ambas as coordenadas mudam conforme as componentes positivas de (4,5)). Em termos de ângulo, essa direção forma um ângulo \theta=\arctan\!\left(\dfrac{5}{4}\right) com o eixo x, mas isso é apenas informação adicional.

Resposta

\displaystyle u=\left(\dfrac{4}{\sqrt{41}},\dfrac{5}{\sqrt{41}}\right)
\displaystyle \max\frac{\partial f}{\partial u}(1,1)=\sqrt{41}
A direção e sentido: na direção do vetor \,(4,5)\,, no sentido do vetor (4,5).

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