(2.5 points) Seja
. Determine o vetor unitário
de modo que a derivada direcional da
na direção do vetor
, no ponto
, isto é,
seja máxima. Qual o valor máximo de
? Estando-se no ponto
, que direção e sentido deve-se tomar a fim que
cresça mais rapidamente?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais informações ele dá.
- A função dada é
. - O ponto onde vamos trabalhar é
. - Perguntas:
- Determinar o vetor unitário
tal que a derivada direcional seja máxima. - Determinar o valor máximo de
. - Indicar, estando no ponto
, qual direção e sentido se deve tomar para que cresça mais rapidamente.
- Determinar o vetor unitário
Passo 2
Definição e ideia-chave que vamos usar (explicação didática e sem pular passos).
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
e
é o produto escalar.
- O gradiente
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Intuição:
aponta na direção de maior crescimento de ; o produto escalar com um vetor unitário dá a componente do crescimento nessa direção. - Para maximizar
sob a restrição usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz:
com igualdade quando
é paralelo a
e no mesmo sentido. Ou seja, o máximo ocorre quando
é o gradiente normalizado.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
passo a passo.
- Para
: tratar como constante. A função é . A derivada de em relação a é vezes a derivada de , que é . Logo
- Para
: tratar como constante. A derivada de em relação a é . A derivada de é . Logo
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituindo
e :
- Portanto
Passo 5
Encontrar o vetor unitário
que maximiza a derivada direcional e calcular o valor máximo (uso da ideia do Passo 2).
- Pelo argumento de Cauchy–Schwarz do Passo 2, a derivada direcional
atinge seu máximo quando é um vetor unitário paralelo a e no mesmo sentido. Logo é o gradiente normalizado:
- O valor máximo da derivada direcional é o comprimento do gradiente:
Passo 6
Interpretando a direção e o sentido pedidos.
- A direção a seguir no ponto
para fazer crescer mais rápido é a direção do vetor . - O sentido é o mesmo do vetor
(ou seja, mover-se na direção em que ambas as coordenadas mudam conforme as componentes positivas de ). Em termos de ângulo, essa direção forma um ângulo com o eixo , mas isso é apenas informação adicional.
Resposta
A direção e sentido: na direção do vetor