Exemplo 0.8. Determine a série de Maclaurin de \sin (2 x) e justifique sua convergência.
Sabemos que a série de Maclaurin de \sin x é dada por
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
Escrevendo os primeiros termos, temos:
\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots
Para encontrar a série de Maclaurin de \sin (2 x), basta substituir x por 2 x :
\sin (2 x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x)^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
Assim,
\sin (2 x)=2 x-\frac{(2 x)^{3}}{3!}+\frac{(2 x)^{5}}{5!}-\frac{(2 x)^{7}}{7!}+\cdots
Simplificando os coeficientes:
\sin (2 x)=2 x-\frac{4 x^{3}}{3}+\frac{4 x^{5}}{15}-\frac{8 x^{7}}{315}+\cdots
Agora vamos justificar a convergência.
A série de Maclaurin de \sin x converge para todo número real. Como \sin (2 x) é obtida apenas substituindo x por 2 x, segue que a nova série também converge para todo x \in \mathbb{R}.
De fato, se x \in \mathbb{R}, então 2 x \in \mathbb{R}. Logo,
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(2 x)^{2 n+1}}{(2 n+1)!}
converge para todo x \in \mathbb{R}.
Portanto, a série de Maclaurin de \sin (2 x) possui raio de convergência infinito e representa a função
\sin (2 x) em todo \mathbb{R}.

Passo 1

O que o exercício pede e o que nos dá:
  • Pede: determinar a série de Maclaurin de \sin(2x) e justificar a convergência dessa série.
  • O enunciado já nos fornece a série de Maclaurin de \sin x:
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Informação útil imediata: a série dada é uma série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin). Precisamos usar essa informação para obter a série de \sin(2x) e explicar por que a nova série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Obter a série de \sin(2x) por substituição simples:
  • A série de Maclaurin de \sin x é válida para qualquer argumento; portanto substituir x por 2x dá diretamente a série de \sin(2x).
  • Fazendo a substituição, obtemos:
\sin(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Isto já é uma expressão correta e em forma de série de potências. Vamos expandir os primeiros termos para ficar mais claro.

Passo 3

Escrever os primeiros termos e simplificar os coeficientes passo a passo:
  • Escrevendo os termos para n=0,1,2,3:
\begin{aligned} n=0&:\quad (-1)^0\frac{(2x)^{1}}{1!}=2x,\\[4pt] n=1&:\quad (-1)^1\frac{(2x)^{3}}{3!}=-\frac{(2x)^3}{3!}=-\frac{8x^3}{6}=-\frac{4x^3}{3},\\[4pt] n=2&:\quad (-1)^2\frac{(2x)^{5}}{5!}=+\frac{32x^5}{120}=+\frac{8x^5}{30}=+\frac{4x^5}{15},\\[4pt] n=3&:\quad (-1)^3\frac{(2x)^{7}}{7!}=-\frac{128x^7}{5040}=-\frac{16x^7}{630}=-\frac{8x^7}{315}. \end{aligned}
  • Assim os primeiros termos ficam:
\sin(2x)=2x-\frac{4x^{3}}{3}+\frac{4x^{5}}{15}-\frac{8x^{7}}{315}+\cdots
  • Observação geral: (2x)^{2n+1}=2^{2n+1}x^{2n+1}, então a forma geral pode também ser escrita como
\sin(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}.]

Passo 4

Justificativa da convergência (a forma mais direta e verificável numa prova):
  • Tomemos o termo geral da série:
a_n=(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  • Aplicamos o critério da razão (Ratio test) para a série de termos a_n. Calculamos o valor absoluto da razão entre termos consecutivos:
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{|2x|^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!}\cdot\frac{(2n+1)!}{|2x|^{2n+1}} =\frac{|2x|^{2}}{(2n+3)(2n+2)}.
  • Para x fixo, ao fazer n\to\infty temos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|2x|^{2}}{(2n+3)(2n+2)}=0.
  • Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, o critério da razão garante que a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: o raio de convergência é infinito; a série converge (e converge absolutamente) para todos os x\in\mathbb{R}.
  • Complemento intuitivo (útil na prova): a série original de \sin x converge para todo real porque os fatoriais crescem muito mais rápido que potências; substituir x por 2x não altera essa razão de crescimento dos denominadores, portanto a convergência global permanece.

Passo 5

Por que a série representa a função \sin(2x) (ligando série à função):
  • A série de Maclaurin de \sin x representa a função \sin x para todo x (função inteira). Substituir x por 2x é compor a série com a função linear x\mapsto 2x; essa composição preserva a igualdade ponto a ponto.
  • Alternativamente, pode-se justificar que a série obtida tem derivadas em 0 que coincidem com as derivadas de \sin(2x) em 0, e pelo teorema do desenvolvimento em série de Taylor para funções analíticas a série coincide com \sin(2x) em todo \mathbb{R}.

Passo 6

Dicas rápidas para usar isso na prova (estilo “colinha amiga”):
  • Se pedirem só os primeiros termos, faça a substituição e simplifique os primeiros coeficientes como em Passo 3 — mostre os cálculos de simplificação (por exemplo 8/6=4/3).
  • Se pedirem justificativa de convergência, aplique o critério da razão como fizemos; é direto e rápido.
  • Se precisarem de um erro (resto), usar a forma de Lagrange do resto para séries de Taylor em \sin dá um estimador simples porque |\sin^{(k)}|\le1.

Resposta

\displaystyle \sin(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
\displaystyle \sin(2x)=2x-\frac{4x^{3}}{3}+\frac{4x^{5}}{15}-\frac{8x^{7}}{315}+\cdots
Raio de convergência: infinito (a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}).

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