Agora vamos justificar a convergência.
A série de Maclaurin de \sin x converge para todo número real. Como \sin (2 x) é obtida apenas substituindo x por 2 x, segue que a nova série também converge para todo x \in \mathbb{R}.
De fato, se x \in \mathbb{R}, então 2 x \in \mathbb{R}. Logo,
converge para todo x \in \mathbb{R}.
Portanto, a série de Maclaurin de \sin (2 x) possui raio de convergência infinito e representa a função \sin (2 x) em todo \mathbb{R}.
Passo 1
O que o exercício pede e o que nos dá:
Pede: determinar a série de Maclaurin de \sin(2x) e justificar a convergência dessa série.
O enunciado já nos fornece a série de Maclaurin de \sin x:
Informação útil imediata: a série dada é uma série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin). Precisamos usar essa informação para obter a série de \sin(2x) e explicar por que a nova série converge para todo x\in\mathbb{R}.
Passo 2
Obter a série de \sin(2x) por substituição simples:
A série de Maclaurin de \sin x é válida para qualquer argumento; portanto substituir x por 2x dá diretamente a série de \sin(2x).
Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, o critério da razão garante que a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.
Conclusão: o raio de convergência é infinito; a série converge (e converge absolutamente) para todos os x\in\mathbb{R}.
Complemento intuitivo (útil na prova): a série original de \sin x converge para todo real porque os fatoriais crescem muito mais rápido que potências; substituir x por 2x não altera essa razão de crescimento dos denominadores, portanto a convergência global permanece.
Passo 5
Por que a série representa a função \sin(2x) (ligando série à função):
A série de Maclaurin de \sin x representa a função \sin x para todo x (função inteira). Substituir x por 2x é compor a série com a função linear x\mapsto 2x; essa composição preserva a igualdade ponto a ponto.
Alternativamente, pode-se justificar que a série obtida tem derivadas em 0 que coincidem com as derivadas de \sin(2x) em 0, e pelo teorema do desenvolvimento em série de Taylor para funções analíticas a série coincide com \sin(2x) em todo \mathbb{R}.
Passo 6
Dicas rápidas para usar isso na prova (estilo “colinha amiga”):
Se pedirem só os primeiros termos, faça a substituição e simplifique os primeiros coeficientes como em Passo 3 — mostre os cálculos de simplificação (por exemplo 8/6=4/3).
Se pedirem justificativa de convergência, aplique o critério da razão como fizemos; é direto e rápido.
Se precisarem de um erro (resto), usar a forma de Lagrange do resto para séries de Taylor em \sin dá um estimador simples porque |\sin^{(k)}|\le1.
Resposta
\displaystyle \sin(2x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{(2x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!} \displaystyle \sin(2x)=2x-\frac{4x^{3}}{3}+\frac{4x^{5}}{15}-\frac{8x^{7}}{315}+\cdots
Raio de convergência: infinito (a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}).