- Considere a curva
.
(a) Determine os pontos onde a curva deixa de ser regular.
(b) Analise o comportamento do vetor tangente quando
.
(a) Determine os pontos onde a curva deixa de ser regular.
(b) Analise o comportamento do vetor tangente quando
Passo 1
O enunciado nos dá a curva paramétrica
.
As perguntas são:
As perguntas são:
- (a) Determinar os pontos onde a curva deixa de ser regular.
- (b) Analisar o comportamento do vetor tangente quando
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função vetor é
dada por . - Valores a usar: derivadas das componentes em função de
.
Passo 2
Definição e cálculo da derivada (vetor tangente).
Uma curva paramétrica é chamada de regular num parâmetro
se o vetor derivada
for diferente do vetor nulo. O vetor tangente (não normalizado) é dado pela derivada componente a componente. Calculemos:
Uma curva paramétrica
Expliquei: para derivar uma curva vetorial, deriva-se cada componente separadamente.
Passo 3
Determinar onde
.
Queremos resolver
Queremos resolver
Isto é equivalente ao sistema escalar
Cada equação implica
. Portanto a única solução é
. Conclui-se que a curva deixa de ser regular apenas em
. O ponto correspondente na curva é
Passo 4
Comportamento do vetor tangente
quando
.
Primeiro observe o limite direto do vetor derivada:
Primeiro observe o limite direto do vetor derivada:
Ou seja, o vetor tangente (não normalizado) tende ao vetor nulo quando
; por isso a curva é não-regular em
.
Passo 5
Analisar o comportamento do vetor tangente normalizado (vetor unitário tangente).
Quando define-se o vetor unitário tangente
Quando
Calculemos a norma de
:
Fatorando
,
Portanto, para
,
Aqui
é o sinal de
(igual a
se
e
se
).
Passo 6
Limites laterais do vetor unitário tangente
quando
.
Para temos
, e os componentes
tendem a
. Assim,
Para
Conclusão: o vetor unitário tangente tem limites laterais diferentes quando
; não existe um único limite
. Em termos de direção orientada, a orientação do vetor tangente muda de sinal ao passar por
.
Passo 7
Comportamento geométrico da curva (linha tangente geométrica).
Embora e o vetor unitário tangente não tenha limite único orientado, a direção geométrica para a qual os pontos da curva se aproximam do ponto
é bem definida. Observe a direção de
em relação à origem:
Embora
independentemente do sinal de
. Assim, geometricamente a curva chega ao ponto
tangenciando a direção do eixo
(vetor
); a linha tangente geométrica é o eixo
passando por
. A diferença é que a orientação do vetor tangente (o sentido) troca de sinal entre os lados.
Resposta
(a) A curva deixa de ser regular apenas em
, no ponto
.
(b) O vetor tangente
tende a
quando
. O vetor unitário tangente tem limites laterais
e
, portanto não existe limite unitário único; geometricamente a linha tangente em
é o eixo
(direção
).