1. Considere a curva \mathbf{r}(t)=\left(t^{2}, t^{3}, t^{4}\right).
    (a) Determine os pontos onde a curva deixa de ser regular.
    (b) Analise o comportamento do vetor tangente quando t \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\left(t^{2},\,t^{3},\,t^{4}\right).
As perguntas são:
  • (a) Determinar os pontos onde a curva deixa de ser regular.
  • (b) Analisar o comportamento do vetor tangente quando t\rightarrow 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função vetor é \mathbf{r}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^{3} dada por \mathbf{r}(t)=\big(t^{2},t^{3},t^{4}\big).
  • Valores a usar: derivadas das componentes em função de t.

Passo 2

Definição e cálculo da derivada (vetor tangente).
Uma curva paramétrica \mathbf{r}(t) é chamada de regular num parâmetro t se o vetor derivada \mathbf{r}'(t) for diferente do vetor nulo. O vetor tangente (não normalizado) é dado pela derivada componente a componente. Calculemos:
\mathbf{r}'(t)=\left(\frac{d}{dt}t^{2},\;\frac{d}{dt}t^{3},\;\frac{d}{dt}t^{4}\right) =\left(2t,\;3t^{2},\;4t^{3}\right).
Expliquei: para derivar uma curva vetorial, deriva-se cada componente separadamente.

Passo 3

Determinar onde \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0}.
Queremos resolver
(2t,\,3t^{2},\,4t^{3})=(0,0,0).
Isto é equivalente ao sistema escalar
2t=0,\qquad 3t^{2}=0,\qquad 4t^{3}=0.
Cada equação implica t=0. Portanto a única solução é t=0. Conclui-se que a curva deixa de ser regular apenas em t=0. O ponto correspondente na curva é
\mathbf{r}(0)=\big(0^{2},0^{3},0^{4}\big)=(0,0,0).

Passo 4

Comportamento do vetor tangente \mathbf{r}'(t) quando t\to 0.
Primeiro observe o limite direto do vetor derivada:
\lim_{t\to 0}\mathbf{r}'(t)=\lim_{t\to 0}(2t,\,3t^{2},\,4t^{3})=(0,0,0).
Ou seja, o vetor tangente (não normalizado) tende ao vetor nulo quando t\to 0; por isso a curva é não-regular em t=0.

Passo 5

Analisar o comportamento do vetor tangente normalizado (vetor unitário tangente).
Quando \mathbf{r}'(t)\neq\mathbf{0} define-se o vetor unitário tangente
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\|\mathbf{r}'(t)\|}.
Calculemos a norma de \mathbf{r}'(t):
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}+(4t^{3})^{2}} =\sqrt{4t^{2}+9t^{4}+16t^{6}}.
Fatorando |t|,
\|\mathbf{r}'(t)\|=|t|\sqrt{4+9t^{2}+16t^{4}}.
Portanto, para t\neq 0,
\mathbf{T}(t)=\frac{(2t,\,3t^{2},\,4t^{3})}{|t|\sqrt{4+9t^{2}+16t^{4}}} =\frac{t}{|t|}\,\frac{(2,\,3t,\,4t^{2})}{\sqrt{4+9t^{2}+16t^{4}}}.
Aqui \dfrac{t}{|t|} é o sinal de t (igual a +1 se t>0 e -1 se t<0).

Passo 6

Limites laterais do vetor unitário tangente \mathbf{T}(t) quando t\to 0.
Para t\to 0 temos \sqrt{4+9t^{2}+16t^{4}}\to 2, e os componentes (2,3t,4t^{2}) tendem a (2,0,0). Assim,
\lim_{t\to 0^{+}}\mathbf{T}(t)=\frac{+1}{2}(2,0,0)=(1,0,0),
\lim_{t\to 0^{-}}\mathbf{T}(t)=\frac{-1}{2}(2,0,0)=(-1,0,0).
Conclusão: o vetor unitário tangente tem limites laterais diferentes quando t\to 0; não existe um único limite \lim_{t\to 0}\mathbf{T}(t). Em termos de direção orientada, a orientação do vetor tangente muda de sinal ao passar por t=0.

Passo 7

Comportamento geométrico da curva (linha tangente geométrica).
Embora \mathbf{r}'(0)=\mathbf{0} e o vetor unitário tangente não tenha limite único orientado, a direção geométrica para a qual os pontos da curva se aproximam do ponto (0,0,0) é bem definida. Observe a direção de \mathbf{r}(t) em relação à origem:
\frac{\mathbf{r}(t)}{\|\mathbf{r}(t)\|}=\frac{(t^{2},t^{3},t^{4})}{\sqrt{t^{4}+t^{6}+t^{8}}} =\frac{(1,t,t^{2})}{\sqrt{1+t^{2}+t^{4}}}\longrightarrow(1,0,0) \quad\text{quando }t\to 0,
independentemente do sinal de t. Assim, geometricamente a curva chega ao ponto (0,0,0) tangenciando a direção do eixo x (vetor (1,0,0)); a linha tangente geométrica é o eixo x passando por (0,0,0). A diferença é que a orientação do vetor tangente (o sentido) troca de sinal entre os lados.

Resposta

(a) A curva deixa de ser regular apenas em t=0, no ponto \mathbf{r}(0)=(0,0,0).
(b) O vetor tangente \mathbf{r}'(t)=(2t,3t^{2},4t^{3}) tende a (0,0,0) quando t\to 0. O vetor unitário tangente tem limites laterais
\displaystyle \lim_{t\to 0^{+}}\mathbf{T}(t)=(1,0,0) e \displaystyle \lim_{t\to 0^{-}}\mathbf{T}(t)=(-1,0,0), portanto não existe limite unitário único; geometricamente a linha tangente em (0,0,0) é o eixo x (direção (1,0,0)).

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