- Prove que a propriedade de regularidade de uma curva é invariante sob reparametrizações suaves (difeomorfismos).
Passo 1
O enunciado pede que se prove que a propriedade de regularidade de uma curva é preservada quando se faz uma reparametrização suave (difeomorfismo). As informações implícitas são:
- Há uma curva suave
definida em um intervalo . - Há uma reparametrização dada por uma função suave
que é um difeomorfismo entre um intervalo e . - Precisa-se mostrar que a curva reparametrizada
é regular se, e somente se, é regular (isto é, a propriedade “velocidade diferente de zero em todos os pontos” é preservada).
Passo 2
Definição clara do que estamos trabalhando (explicar o conceito que vamos usar).
- Uma curva suave
é uma função de classe (ou mais suave). - Dizemos que
é regular se
onde
é o vetor velocidade (derivada) da curva no ponto
.
Expliquei: “regular” significa que a velocidade nunca se anula — na prova isso é o que vamos verificar.
Expliquei: “regular” significa que a velocidade nunca se anula — na prova isso é o que vamos verificar.
Passo 3
Definição do que é uma reparametrização suave (difeomorfismo).
- Uma função
é um difeomorfismo suave se: -
é bijetora, -
é de classe (ou , conforme o contexto), - a inversa
também é de classe , - isso implica, em particular, que a derivada
existe e para todo .
Expliquei: a condiçãoé essencial — é o que garante que a reparametrização não “estaca” (não torna a velocidade zero).
-
Passo 4
Esboço da estratégia da prova (sem calcular ainda): usar a regra da cadeia para a composição
e relacionar
com
e
. A conclusão virá observando que o produto de um vetor não-nulo por um escalar não-nulo é um vetor não-nulo, e usar a invertibilidade de
para a implicação reversa.
Passo 5
Apresentar e explicar a regra da cadeia no contexto
.
Se e
são diferenciáveis, então a composição
é diferenciável e vale a regra da cadeia:
Se
Explicando minuciosamente:
é um vetor em
;
é um número real (um escalar). A multiplicação indicada é a multiplicação escalar-de-vetor usual, isto é, cada componente do vetor
é multiplicada por
.
Passo 6
Provar a implicação direta: se
é regular então
é regular.
- Hipótese:
para todo e é difeomorfismo, então para todo . - Pelo passo anterior, para todo
,
- Como
(pela regularidade de ) e , o produto escalar de um vetor não-nulo por um escalar não-nulo é um vetor não-nulo. Portanto
- Conclusão desta parte:
é regular.
Passo 7
Provar a implicação recíproca: se
é regular então
é regular (usando que
é difeomorfismo).
- Hipótese:
para todo e é difeomorfismo (logo existe e é , e para todo ). - Tome um ponto arbitrário
. Como é bijetora, existe tal que . - Avaliando a fórmula da regra da cadeia em
:
- Pela hipótese,
, e como (difeomorfismo), isso só é possível se . Se fosse , o produto seria , contradizendo a regularidade de . - Como
foi arbitrário, para todo . Logo é regular.
Passo 8
Comentário sobre orientação e sinais: a prova acima não exige que
; basta que
. Se
em algum ponto, a reparametrização inverte a orientação da curva, mas não afeta a regularidade — a velocidade continua não-nula.
Passo 9
Exemplo simples para fixar a ideia.
- Tome
definida em . Tem , que nunca é — é regular. - Reparametrização
(difeomorfismo de em com ). Então e
que também é nunca zero, confirmando a preservação da regularidade.
Passo 10
Resumo final lógico: a regularidade depende apenas do vetor velocidade não se anular; uma reparametrização suave (difeomorfismo) multiplica esse vetor velocidade por um escalar nunca nulo, logo não pode anular uma velocidade que já era não-nula, e, invertendo a argumentação, não pode esconder uma eventual nulidade — daí a propriedade ser invariante.
Resposta
Seja
suave e
um difeomorfismo suave. Então
é regular em
se, e somente se,
é regular em
; isto é, regularidade é preservada por reparametrizações suaves.