1. Prove que a propriedade de regularidade de uma curva é invariante sob reparametrizações suaves (difeomorfismos).

Passo 1

O enunciado pede que se prove que a propriedade de regularidade de uma curva é preservada quando se faz uma reparametrização suave (difeomorfismo). As informações implícitas são:
  • Há uma curva suave \alpha definida em um intervalo I.
  • Há uma reparametrização dada por uma função suave \varphi que é um difeomorfismo entre um intervalo J e I.
  • Precisa-se mostrar que a curva reparametrizada \beta=\alpha\circ\varphi é regular se, e somente se, \alpha é regular (isto é, a propriedade “velocidade diferente de zero em todos os pontos” é preservada).

Passo 2

Definição clara do que estamos trabalhando (explicar o conceito que vamos usar).
  • Uma curva suave \alpha é uma função \alpha:I\to\mathbb{R}^n de classe C^1 (ou mais suave).
  • Dizemos que \alpha é regular se
\alpha'(t)\neq 0\quad\text{para todo }t\in I,
onde \alpha'(t) é o vetor velocidade (derivada) da curva no ponto t.
Expliquei: “regular” significa que a velocidade nunca se anula — na prova isso é o que vamos verificar.

Passo 3

Definição do que é uma reparametrização suave (difeomorfismo).
  • Uma função \varphi:J\to I é um difeomorfismo suave se:
    • \varphi é bijetora,
    • \varphi é de classe C^1 (ou C^\infty, conforme o contexto),
    • a inversa \varphi^{-1}:I\to J também é de classe C^1,
    • isso implica, em particular, que a derivada \varphi'(s) existe e \varphi'(s)\neq 0 para todo s\in J.
      Expliquei: a condição \varphi'(s)\neq 0 é essencial — é o que garante que a reparametrização não “estaca” (não torna a velocidade zero).

Passo 4

Esboço da estratégia da prova (sem calcular ainda): usar a regra da cadeia para a composição \beta=\alpha\circ\varphi e relacionar \beta' com \alpha' e \varphi'. A conclusão virá observando que o produto de um vetor não-nulo por um escalar não-nulo é um vetor não-nulo, e usar a invertibilidade de \varphi para a implicação reversa.

Passo 5

Apresentar e explicar a regra da cadeia no contexto \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n.
Se \alpha:I\to\mathbb{R}^n e \varphi:J\to I são diferenciáveis, então a composição \beta=\alpha\circ\varphi:J\to\mathbb{R}^n é diferenciável e vale a regra da cadeia:
\beta'(s)=\big(\alpha'\circ\varphi\big)(s)\cdot\varphi'(s).
Explicando minuciosamente: \alpha'(\varphi(s)) é um vetor em \mathbb{R}^n; \varphi'(s) é um número real (um escalar). A multiplicação indicada é a multiplicação escalar-de-vetor usual, isto é, cada componente do vetor \alpha'(\varphi(s)) é multiplicada por \varphi'(s).

Passo 6

Provar a implicação direta: se \alpha é regular então \beta=\alpha\circ\varphi é regular.
  • Hipótese: \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I e \varphi é difeomorfismo, então \varphi'(s)\neq 0 para todo s\in J.
  • Pelo passo anterior, para todo s\in J,
\beta'(s)=\alpha'(\varphi(s))\cdot\varphi'(s).
  • Como \alpha'(\varphi(s))\neq 0 (pela regularidade de \alpha) e \varphi'(s)\neq 0, o produto escalar de um vetor não-nulo por um escalar não-nulo é um vetor não-nulo. Portanto
\beta'(s)\neq 0\quad\text{para todo }s\in J.
  • Conclusão desta parte: \beta é regular.

Passo 7

Provar a implicação recíproca: se \beta=\alpha\circ\varphi é regular então \alpha é regular (usando que \varphi é difeomorfismo).
  • Hipótese: \beta'(s)\neq 0 para todo s\in J e \varphi é difeomorfismo (logo \varphi^{-1} existe e é C^1, e (\varphi^{-1})'(t)\neq 0 para todo t\in I).
  • Tome um ponto arbitrário t_0\in I. Como \varphi é bijetora, existe s_0\in J tal que \varphi(s_0)=t_0.
  • Avaliando a fórmula da regra da cadeia em s_0:
\beta'(s_0)=\alpha'(\varphi(s_0))\cdot\varphi'(s_0)=\alpha'(t_0)\cdot\varphi'(s_0).
  • Pela hipótese, \beta'(s_0)\neq 0, e como \varphi'(s_0)\neq 0 (difeomorfismo), isso só é possível se \alpha'(t_0)\neq 0. Se \alpha'(t_0) fosse 0, o produto seria 0, contradizendo a regularidade de \beta.
  • Como t_0 foi arbitrário, \alpha'(t)\neq 0 para todo t\in I. Logo \alpha é regular.

Passo 8

Comentário sobre orientação e sinais: a prova acima não exige que \varphi'(s)>0; basta que \varphi'(s)\neq 0. Se \varphi'(s)<0 em algum ponto, a reparametrização inverte a orientação da curva, mas não afeta a regularidade — a velocidade continua não-nula.

Passo 9

Exemplo simples para fixar a ideia.
  • Tome \alpha(t)=(\cos t,\sin t) definida em I=\mathbb{R}. Tem \alpha'(t)=(-\sin t,\cos t), que nunca é 0 \alpha é regular.
  • Reparametrização \varphi(s)=2s (difeomorfismo de \mathbb{R} em \mathbb{R} com \varphi'(s)=2\neq 0). Então \beta(s)=\alpha(2s) e
\beta'(s)=\alpha'(2s)\cdot 2,
que também é nunca zero, confirmando a preservação da regularidade.

Passo 10

Resumo final lógico: a regularidade depende apenas do vetor velocidade não se anular; uma reparametrização suave (difeomorfismo) multiplica esse vetor velocidade por um escalar nunca nulo, logo não pode anular uma velocidade que já era não-nula, e, invertendo a argumentação, não pode esconder uma eventual nulidade — daí a propriedade ser invariante.

Resposta

Seja \alpha:I\to\mathbb{R}^n suave e \varphi:J\to I um difeomorfismo suave. Então \beta=\alpha\circ\varphi é regular em J se, e somente se, \alpha é regular em I; isto é, regularidade é preservada por reparametrizações suaves.

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