(a) determinar \mathbf{r}^{\prime}(t) e \mathbf{r}^{\prime\prime}(t);
(b) determinar a curvatura \kappa(t) da curva;
(c) calcular \kappa(1).
As informações relevantes são as componentes da curva em função de t: x(t)=t, y(t)=t^{2}, z(t)=t^{4}. Nada mais é necessário para as derivadas e para a curvatura com a fórmula padrão de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas componentes usando a regra básica: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
Agora a curvatura. Intuitivamente, a curvatura \kappa mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento de arco. A fórmula que usaremos para uma curva no espaço paramétrica por t é
\mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada primeira),
\mathbf{r}''(t) é o vetor aceleração (derivada segunda),
\times é o produto vetorial (cross product),
\|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor,
\|\mathbf{r}'(t)\|^{3} é o cubo da norma de \mathbf{r}'(t).
Essa fórmula vem da definição \kappa=\left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\right\| (derivada do versor tangente em relação ao comprimento de arco) e da relação entre derivadas em t e em s. Mas aqui vamos aplicá-la diretamente.
Passo 4
Calculamos o produto vetorial \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t). Use o determinante padrão:
a) \mathbf{r}'(t)=\left\langle 1,\;2t,\;4t^{3}\right\rangle,\quad \mathbf{r}''(t)=\left\langle 0,\;2,\;12t^{2}\right\rangle
b) \displaystyle \kappa(t)=\frac{\sqrt{256t^{6}+144t^{4}+4}}{\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}}=\frac{2\sqrt{64t^{6}+36t^{4}+1}}{\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}}
c) \displaystyle \kappa(1)=\frac{2\sqrt{101}}{21\sqrt{21}}