1. Considere a curva
\mathbf{r}(t)=\left\langle t, t^{2}, t^{4}\right\rangle
a) Determine \mathbf{r}^{\prime}(t) e \mathbf{r}^{\prime \prime}(t) .
b) Determine a curvatura \kappa(t) .
c) Calcule \kappa(1) .

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
\mathbf{r}(t)=\left\langle t,\; t^{2},\; t^{4}\right\rangle
e pede três coisas:
  • (a) determinar \mathbf{r}^{\prime}(t) e \mathbf{r}^{\prime\prime}(t);
  • (b) determinar a curvatura \kappa(t) da curva;
  • (c) calcular \kappa(1).
As informações relevantes são as componentes da curva em função de t: x(t)=t, y(t)=t^{2}, z(t)=t^{4}. Nada mais é necessário para as derivadas e para a curvatura com a fórmula padrão de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas componentes usando a regra básica: a derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\left\langle \frac{d}{dt}t,\; \frac{d}{dt}t^{2},\; \frac{d}{dt}t^{4}\right\rangle =\left\langle 1,\; 2t,\; 4t^{3}\right\rangle.
Derivando novamente para obter \mathbf{r}''(t):
\mathbf{r}''(t)=\left\langle \frac{d}{dt}1,\; \frac{d}{dt}(2t),\; \frac{d}{dt}(4t^{3})\right\rangle =\left\langle 0,\; 2,\; 12t^{2}\right\rangle.

Passo 3

Agora a curvatura. Intuitivamente, a curvatura \kappa mede o quanto a curva “vira” por unidade de comprimento de arco. A fórmula que usaremos para uma curva no espaço paramétrica por t é
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times \mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^{3}}.
Aqui:
  • \mathbf{r}'(t) é o vetor velocidade (derivada primeira),
  • \mathbf{r}''(t) é o vetor aceleração (derivada segunda),
  • \times é o produto vetorial (cross product),
  • \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor,
  • \|\mathbf{r}'(t)\|^{3} é o cubo da norma de \mathbf{r}'(t).
Essa fórmula vem da definição \kappa=\left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{ds}\right\| (derivada do versor tangente em relação ao comprimento de arco) e da relação entre derivadas em t e em s. Mas aqui vamos aplicá-la diretamente.

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t). Use o determinante padrão:
\mathbf{r}'(t)=\langle 1,\;2t,\;4t^{3}\rangle,\qquad \mathbf{r}''(t)=\langle 0,\;2,\;12t^{2}\rangle.
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2t & 4t^{3} \\\\ 0 & 2 & 12t^{2} \end{vmatrix}.
Calculando cada componente:
  • componente \mathbf{i}: 2t\cdot 12t^{2} - 4t^{3}\cdot 2 = 24t^{3}-8t^{3}=16t^{3},
  • componente \mathbf{j}: 1\cdot 12t^{2} - 4t^{3}\cdot 0 = 12t^{2}, com sinal negativo pelo determinante fica -12t^{2},
  • componente \mathbf{k}: 1\cdot 2 - 2t\cdot 0 = 2.
Portanto
\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)=\left\langle 16t^{3},\; -12t^{2},\; 2\right\rangle.

Passo 5

Agora a norma desse vetor (o numerador da fórmula):
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\| =\sqrt{(16t^{3})^{2}+(-12t^{2})^{2}+2^{2}} =\sqrt{256t^{6}+144t^{4}+4}.
Podemos fatorar 4 dentro da raiz se quisermos:
\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|=2\sqrt{64t^{6}+36t^{4}+1}.

Passo 6

Calculamos agora \|\mathbf{r}'(t)\| e o seu cubo (denominador da fórmula):
\|\mathbf{r}'(t)\|^{2}=1^{2}+(2t)^{2}+(4t^{3})^{2}=1+4t^{2}+16t^{6}.
Logo
\|\mathbf{r}'(t)\|=\sqrt{1+4t^{2}+16t^{6}}, \qquad \|\mathbf{r}'(t)\|^{3}=\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}.

Passo 7

Substituindo numerador e denominador na fórmula da curvatura, obtemos
\kappa(t)=\frac{\sqrt{256t^{6}+144t^{4}+4}}{\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}}.
Uma forma levemente mais compacta, usando o fator 2 tirado da raiz, é
\kappa(t)=\frac{2\sqrt{64t^{6}+36t^{4}+1}}{\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}}.

Passo 8

Finalmente, avaliamos em t=1. Substituindo t=1 na expressão mais simples:
Numerador:
\sqrt{256\cdot 1^{6}+144\cdot 1^{4}+4}=\sqrt{256+144+4}=\sqrt{404}=2\sqrt{101}.
Denominador:
\bigl(1+4\cdot 1^{2}+16\cdot 1^{6}\bigr)^{3/2}=(1+4+16)^{3/2}=21^{3/2}=21\sqrt{21}.
Logo
\kappa(1)=\frac{2\sqrt{101}}{21\sqrt{21}}.

Resposta

a) \mathbf{r}'(t)=\left\langle 1,\;2t,\;4t^{3}\right\rangle,\quad \mathbf{r}''(t)=\left\langle 0,\;2,\;12t^{2}\right\rangle
b) \displaystyle \kappa(t)=\frac{\sqrt{256t^{6}+144t^{4}+4}}{\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}}=\frac{2\sqrt{64t^{6}+36t^{4}+1}}{\bigl(1+4t^{2}+16t^{6}\bigr)^{3/2}}
c) \displaystyle \kappa(1)=\frac{2\sqrt{101}}{21\sqrt{21}}

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