1. Considere as equações paramétricas
x=t^{2}+2 t, \quad y=t-3
a) Elimine o parâmetro t e encontre a equação cartesiana da curva.
b) Identifique a curva obtida.
c) Determine o ponto correspondente a t=1 .

Passo 1

O enunciado dá as curvas paramétricas
x=t^{2}+2t,\qquad y=t-3,
e pede três coisas:
  • (a) eliminar o parâmetro t e achar a equação cartesiana da curva;
  • (b) identificar que curva é essa (forma geométrica, vértice, abertura, etc.);
  • (c) determinar o ponto correspondente a t=1.
Informações relevantes fornecidas:
  • As expressões para x e y em função de t estão explícitas acima.
  • Não há outras restrições sobre t no enunciado (podemos assumir t\in\mathbb{R}).

Passo 2

Para eliminar o parâmetro, o caminho mais direto é isolar t em uma das equações e substituir na outra. Da segunda equação temos
y=t-3.
Isolando t obtemos
t=y+3.
Explicação didática: quando aparece uma variável ( t) numa equação linear simples como y=t-3, basta somar 3 aos dois lados para resolver para t. Isso é operação elementar de álgebra: se y=t-3 então t=y+3.

Passo 3

Agora substituímos t=y+3 na expressão de x:
x = t^{2}+2t = (y+3)^{2} + 2(y+3).
Vamos expandir passo a passo:
(y+3)^{2} = y^{2} + 6y + 9,
2(y+3) = 2y + 6.
Somando:
x = (y^{2} + 6y + 9) + (2y + 6) = y^{2} + 8y + 15.
Portanto a equação cartesiana obtida é
x = y^{2} + 8y + 15.

Passo 4

Para identificar melhor a curva, é útil pôr a equação em uma forma padrão de parábola completando o quadrado em y. Pegamos
x = y^{2} + 8y + 15.
Complete o quadrado para a parte em y:
y^{2} + 8y = (y^{2} + 8y + 16) - 16 = (y+4)^{2} - 16.
Assim
x = \bigl((y+4)^{2} - 16\bigr) + 15 = (y+4)^{2} - 1.
Reescrevendo,
(y+4)^{2} = x + 1.
Explicação didática: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático em y numa expressão do tipo (y-k)^{2} mais constantes, o que revela deslocamentos (vértice) e a orientação da parábola.

Passo 5

A partir da forma (y+4)^{2} = x + 1 podemos identificar a curva:
  • É uma parábola com eixos alinhados aos eixos coordenados, cuja equação padrão é (y-k)^{2} = 4p(x-h).
  • Comparando (y+4)^{2} = x + 1 com (y-k)^{2} = 4p(x-h), obtemos k=-4, h=-1 e 4p=1 (logo p=\tfrac{1}{4}).
  • O vértice é (h,k)=(-1,-4).
  • Como 4p>0 (ou, equivalentemente, o coeficiente de (y+4)^{2} quando isolamos x é positivo), a parábola abre para a direita (no sentido dos x positivos).
    Breve lembrete prático: para uma parábola horizontal, a forma x = a(y-k)^{2} + h tem vértice em (h,k) e abre para a direita se a>0 (para a esquerda se a<0).

Passo 6

Agora determine o ponto correspondente a t=1. Usando diretamente as parametrizações:
y = t-3 \Rightarrow y(1) = 1-3 = -2,
x = t^{2}+2t \Rightarrow x(1) = 1^{2} + 2\cdot 1 = 1 + 2 = 3.
Portanto o ponto é (x,y)=(3,-2).

Resposta

(a) x = y^{2} + 8y + 15 (ou equivalentemente x = (y+4)^{2} - 1)
(b) Parábola com vértice em (-1,-4), eixo paralelo ao eixo x e abrindo para a direita
(c) (3,-2)

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