- Considere as equações paramétricas
a) Elimine o parâmetro
e encontre a equação cartesiana da curva.
b) Identifique a curva obtida.
c) Determine o ponto correspondente a
.
b) Identifique a curva obtida.
c) Determine o ponto correspondente a
Passo 1
O enunciado dá as curvas paramétricas
e pede três coisas:
- (a) eliminar o parâmetro
e achar a equação cartesiana da curva; - (b) identificar que curva é essa (forma geométrica, vértice, abertura, etc.);
- (c) determinar o ponto correspondente a
.
Informações relevantes fornecidas:
- As expressões para
e em função de estão explícitas acima. - Não há outras restrições sobre
no enunciado (podemos assumir ).
Passo 2
Para eliminar o parâmetro, o caminho mais direto é isolar
em uma das equações e substituir na outra. Da segunda equação temos
Isolando
obtemos
Explicação didática: quando aparece uma variável (
) numa equação linear simples como
, basta somar
aos dois lados para resolver para
. Isso é operação elementar de álgebra: se
então
.
Passo 3
Agora substituímos
na expressão de
:
Vamos expandir passo a passo:
Somando:
Portanto a equação cartesiana obtida é
Passo 4
Para identificar melhor a curva, é útil pôr a equação em uma forma padrão de parábola completando o quadrado em
. Pegamos
Complete o quadrado para a parte em
:
Assim
Reescrevendo,
Explicação didática: completar o quadrado transforma um polinômio quadrático em
numa expressão do tipo
mais constantes, o que revela deslocamentos (vértice) e a orientação da parábola.
Passo 5
A partir da forma
podemos identificar a curva:
- É uma parábola com eixos alinhados aos eixos coordenados, cuja equação padrão é
. - Comparando
com , obtemos , e (logo ). - O vértice é
. - Como
(ou, equivalentemente, o coeficiente de quando isolamos é positivo), a parábola abre para a direita (no sentido dos positivos).
Breve lembrete prático: para uma parábola horizontal, a formatem vértice em e abre para a direita se (para a esquerda se ).
Passo 6
Agora determine o ponto correspondente a
. Usando diretamente as parametrizações:
Portanto o ponto é
.
Resposta
(a)
(ou equivalentemente
)
(b) Parábola com vértice em , eixo paralelo ao eixo
e abrindo para a direita
(c)
(b) Parábola com vértice em
(c)