1. Considere a curva
\mathbf{r}(t)=2 \cos t \mathbf{i}+2 \sin t \mathbf{j}+3 t \mathbf{k}, \quad 0 \leq t \leq \pi
a) Determine \mathbf{r}^{\prime}(t) .
b) Determine \left|\mathbf{r}^{\prime}(t)\right|.
c) Calcule o comprimento de arco da curva no intervalo dado.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva descrita pela função vetorial
\mathbf{r}(t)=2\cos t\,\mathbf{i}+2\sin t\,\mathbf{j}+3t\,\mathbf{k},\qquad 0\le t\le\pi.
As perguntas são:
a) Determinar \mathbf{r}'(t).
b) Determinar \left|\mathbf{r}'(t)\right|.
c) Calcular o comprimento de arco da curva no intervalo 0\le t\le\pi.
Informações relevantes que temos (extraídas do enunciado):
  • A função vetorial tem três componentes: x(t)=2\cos t, y(t)=2\sin t e z(t)=3t.
  • O parâmetro varia de t=0 até t=\pi.
  • Precisamos o vetor velocidade (derivada), sua norma (velocidade escalar) e o comprimento de arco usando a norma da derivada.

Passo 2

Derivada de uma função vetorial: faz-se a derivada componente a componente. Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar:
  • A derivada de \cos t é -\sin t.
  • A derivada de \sin t é \cos t.
  • A derivada de 3t (uma função linear) é 3.
Aplicando componente a componente:
\begin{aligned} x'(t)&=\frac{d}{dt}\big(2\cos t\big)=2\cdot(-\sin t)=-2\sin t,\\[4pt] y'(t)&=\frac{d}{dt}\big(2\sin t\big)=2\cdot\cos t=2\cos t,\\[4pt] z'(t)&=\frac{d}{dt}\big(3t\big)=3. \end{aligned}
Portanto a derivada vetorial (vetor velocidade) é
\mathbf{r}'(t)=-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}.]

Passo 3

Agora vamos calcular a norma de \mathbf{r}'(t). Para um vetor em \mathbb{R}^3 com componentes (a,b,c), a norma é
\|(a,b,c)\|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}.
Aqui temos a=-2\sin t, b=2\cos t, c=3. Então
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{(-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}+3^{2}}.

Passo 4

Agora simplificamos a expressão dentro da raiz, desenvolvendo os quadrados e usando a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1:
\begin{aligned} (-2\sin t)^{2}+(2\cos t)^{2}+3^{2} &=4\sin^{2}t+4\cos^{2}t+9\\[4pt] &=4(\sin^{2}t+\cos^{2}t)+9\\[4pt] &=4\cdot 1+9=13. \end{aligned}
Logo
\left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{13}.
Observação: a norma é constante (não depende de t), o que significa que a velocidade escalar ao longo da curva é constante.]

Passo 5

Comprimento de arco: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t) de t=a até t=b, o comprimento de arco s é dado por
s=\int_{a}^{b}\left|\mathbf{r}'(t)\right|\,dt.
Aqui a=0, b=\pi e \left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{13}. Então
s=\int_{0}^{\pi}\sqrt{13}\,dt=\sqrt{13}\int_{0}^{\pi}dt=\sqrt{13}\,[t]_{0}^{\pi}=\pi\sqrt{13}.

Passo 6

Resumo final e pequena interpretação geométrica (para fixar a ideia): a curva descreve, no plano xy, um círculo de raio 2 (porque x=2\cos t, y=2\sin t) enquanto a coordenada z sobe linearmente com taxa 3. Isso é uma hélice circular de raio 2 com velocidade axial constante; por isso o módulo da velocidade é constante e o comprimento para um giro de t de 0 a \pi (meia volta) resulta em \pi\sqrt{13}.

Resposta

a) \mathbf{r}'(t)=-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}
b) \left|\mathbf{r}'(t)\right|=\sqrt{13}
c) Comprimento de arco s=\pi\sqrt{13}

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