As perguntas são:
a) Determinar \mathbf{r}'(t).
b) Determinar \left|\mathbf{r}'(t)\right|.
c) Calcular o comprimento de arco da curva no intervalo 0\le t\le\pi.
Informações relevantes que temos (extraídas do enunciado):
A função vetorial tem três componentes: x(t)=2\cos t, y(t)=2\sin t e z(t)=3t.
O parâmetro varia de t=0 até t=\pi.
Precisamos o vetor velocidade (derivada), sua norma (velocidade escalar) e o comprimento de arco usando a norma da derivada.
Passo 2
Derivada de uma função vetorial: faz-se a derivada componente a componente. Relembrando as regras básicas de derivação que vamos usar:
Resumo final e pequena interpretação geométrica (para fixar a ideia): a curva descreve, no plano xy, um círculo de raio 2 (porque x=2\cos t, y=2\sin t) enquanto a coordenada z sobe linearmente com taxa 3. Isso é uma hélice circular de raio 2 com velocidade axial constante; por isso o módulo da velocidade é constante e o comprimento para um giro de t de 0 a \pi (meia volta) resulta em \pi\sqrt{13}.
Resposta
a) \mathbf{r}'(t)=-2\sin t\,\mathbf{i}+2\cos t\,\mathbf{j}+3\,\mathbf{k}