Considere a curva parametrizad a por \alpha(t)=\left(e^{-t} \operatorname{sen} t, e^{-t} \cos t, e^{t}\right). Considere também o ponto A=\alpha(0)=(0,1,1).
(a) Calcule a curvatura e a torção de \alpha \mathrm{em} A.
(b) Determine os vetores T, N e B de \alpha em A.
(c) Determine as equações do plano osculador e do plano normal a \alpha em A.
O que é pedido:
(a) Calcular a curvatura \kappa e a torção \tau de \alpha em A.
(b) Determinar os vetores unitários T,N,B (tangente, normal principal e binormal) de \alpha em A.
(c) Determinar as equações do plano osculador e do plano normal a \alpha em A.
Dados relevantes extraídos do enunciado:
A expressão explícita de \alpha(t).
O ponto de avaliação é t=0, já que A=\alpha(0).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas \alpha'(t),\alpha''(t),\alpha'''(t) de forma explícita (sempre explicando cada passo).
onde \alpha' e \alpha'' são derivadas em relação ao parâmetro e \times é o produto vetorial. Intuição: \alpha' dá a direção tangente, \alpha'' mede a variação dessa direção; o produto vetorial capta a componente normal dessa variação.
Calcule \alpha'(0)\times\alpha''(0). Com \alpha'(0)=(1,-1,1) e \alpha''(0)=(-2,0,1):
Definição: T=\dfrac{\alpha'}{\|\alpha'\|}. Já calculamos \alpha'(0)=(1,-1,1) e \|\alpha'(0)\|=\sqrt{3}. Assim
T(0)=\frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,-1,1).
Passo 7
Cálculo do vetor normal principal N em A.
Procedimento (explicação didática): N é o vetor unitário que aponta para a direção em que a tangente está mudando. Uma forma prática é tirar a componente tangencial de \alpha'' e normalizar: primeiro projetar \alpha'' sobre T, subtrair para obter a componente normal, então normalizar.
A componente tangencial de \alpha''(0) é \bigl(\alpha''(0)\cdot T(0)\bigr)T(0)= -\frac{1}{3}(1,-1,1).
Subtraindo da \alpha''(0) obtemos a componente normal (não normalizada):
Multiplicando por 3 (apenas para simplificar) vemos que a direção é a de (-5,-1,4). A norma desse vetor é \sqrt{25+1+16}=\sqrt{42}. Portanto o vetor normal unitário é
N(0)=\frac{1}{\sqrt{42}}(-5,-1,4).
Passo 8
Cálculo do binormal B em A.
Definição e observação prática: o binormal é B=T\times N. Uma forma mais direta é usar a fórmula