O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V=\pi r^{2} h, onde r é o raio e h é a altura.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r se r variar e h permanecer constante.

Passo 1

O enunciado dá a fórmula do volume de um cilindro circular reto:
V=\pi r^{2} h
e pede: determinar uma fórmula para a taxa de variação instantânea de V em relação a r quando r varia e h permanece constante.
Informações importantes fornecidas:
  • A variável que muda é r (raio).
  • A variável que permanece constante é h (altura).
  • A relação entre V, r e h é \;V=\pi r^{2} h.
  • O que se busca é a taxa de variação instantânea de V em relação a r, isto é, \dfrac{dV}{dr}.

Passo 2

O que significa calcular \dfrac{dV}{dr}?
É o limite da razão de variação média quando a variação em r tende a zero. Em notação:
\frac{dV}{dr}=\lim_{\Delta r\to 0}\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}.
Vamos aplicar isso usando \;V(r)=\pi r^{2}h. Primeiro calcule a diferença:
V(r+\Delta r)-V(r)=\pi h\big((r+\Delta r)^{2}-r^{2}\big).
Desenvolvendo o quadrado:
(r+\Delta r)^{2}-r^{2}=2r\Delta r+(\Delta r)^{2}.
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V(r+\Delta r)-V(r)=\pi h\big(2r\Delta r+(\Delta r)^{2}\big).
Dividindo por \Delta r:
\frac{V(r+\Delta r)-V(r)}{\Delta r}=\pi h\big(2r+ \Delta r\big).
Tomando o limite quando \Delta r\to 0 obtemos
\frac{dV}{dr}=\pi h\cdot 2r = 2\pi r h.

Passo 3

Outra forma de ver rapidamente: como h e \pi são constantes, aplica-se a regra da potência para r^{2}: a derivada de r^{2} em relação a r é 2r. Multiplicando pelos fatores constantes obtemos o mesmo resultado:
\frac{dV}{dr}= \pi h \cdot \frac{d}{dr}(r^{2})=\pi h\cdot 2r = 2\pi r h.

Passo 4

Interpretação e exemplo prático: \dfrac{dV}{dr}=2\pi r h tem unidades de volume por unidade de comprimento (por exemplo, \text{cm}^3/\text{cm}=\text{cm}^2). Para um cilindro com r=2\\ \text{cm} e h=10\\ \text{cm},
\frac{dV}{dr}=2\pi\cdot 2\cdot 10=40\pi.
Isso significa que, para um pequeno aumento \Delta r do raio, a variação aproximada do volume é \Delta V\approx 40\pi\cdot \Delta r. Vai dar certo na prova — respira, faz passo a passo e aplica esse cálculo.

Resposta

\displaystyle \frac{dV}{dr}=2\pi r h

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