O volume
de um cilindro circular reto é dado pela fórmula
, onde
é o raio e
é a altura.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
se
variar e
permanecer constante.
Determine uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
Passo 1
O enunciado dá a fórmula do volume de um cilindro circular reto:
e pede: determinar uma fórmula para a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando
varia e
permanece constante.
Informações importantes fornecidas:
- A variável que muda é
(raio). - A variável que permanece constante é
(altura). - A relação entre
, e é . - O que se busca é a taxa de variação instantânea de
em relação a , isto é, .
Passo 2
O que significa calcular
?
É o limite da razão de variação média quando a variação em tende a zero. Em notação:
É o limite da razão de variação média quando a variação em
Vamos aplicar isso usando
. Primeiro calcule a diferença:
Desenvolvendo o quadrado:
Logo
Dividindo por
:
Tomando o limite quando
obtemos
Passo 3
Outra forma de ver rapidamente: como
e
são constantes, aplica-se a regra da potência para
: a derivada de
em relação a
é
. Multiplicando pelos fatores constantes obtemos o mesmo resultado:
Passo 4
Interpretação e exemplo prático:
tem unidades de volume por unidade de comprimento (por exemplo,
). Para um cilindro com
e
,
Isso significa que, para um pequeno aumento
do raio, a variação aproximada do volume é
. Vai dar certo na prova — respira, faz passo a passo e aplica esse cálculo.