O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V=\pi r^{2} h, onde r é o raio e h é a altura.
Suponha que h tenha um valor constante de 4 pol, mas que r varie. Determine a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r=6 pol.

Passo 1

O enunciado e os dados que temos são esses (vou listar exatamente o que foi dado):
  • Fórmula do volume do cilindro: V=\pi r^{2} h.
  • A altura é constante e vale h=4 pol.
  • O raio varia; queremos a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r=6 pol.
O que o problema pede:
  • Calcular \dfrac{dV}{dr} no instante em que r=6 pol (isto é, a derivada de V em relação a r avaliada em r=6).

Passo 2

Substituir a informação de que h é constante na expressão do volume para ter V como função apenas de r. Como h=4 pol, escrevemos:
V(r)=\pi r^{2}\cdot 4.
Podemos reorganizar o fator constante:
V(r)=4\pi r^{2}.
Aqui V(r) significa “volume visto como função do raio r”, e 4\pi é uma constante multiplicando r^{2}.

Passo 3

Explicar o conceito usado: derivada como taxa de variação e regra de diferenciação.
  • A derivada \dfrac{dV}{dr} é a taxa de variação instantânea do volume quando o raio muda; numericamente diz quanto o volume aumenta (em unidades de volume) quando aumentamos o raio em uma unidade.
  • Para diferenciar V(r)=4\pi r^{2} usamos duas regras simples:
    1. Regra da constante: se C é constante, \dfrac{d}{dr}\big(C\cdot f(r)\big)=C\cdot f'(r).
    2. Regra do poder (power rule): para f(r)=r^{n}, \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}.
  • Aqui C=4\pi e f(r)=r^{2}. Aplicando as regras, multiplicamos 4\pi pela derivada de r^{2}.

Passo 4

Calcular a derivada passo a passo:
Primeiro a derivada de r^{2} segundo a regra do poder é 2r. Aplicando a constante 4\pi:
\frac{dV}{dr}=4\pi\cdot \frac{d}{dr}\big(r^{2}\big)=4\pi\cdot(2r).
Simplificando:
\frac{dV}{dr}=8\pi r.
Essa expressão dá a taxa de variação do volume em função do raio r.

Passo 5

Avaliar a derivada no ponto r=6 pol substituindo r=6 na expressão obtida:
\left.\frac{dV}{dr}\right|_{r=6}=8\pi\cdot 6 = 48\pi.
Unidades: V está em \text{pol}^{3} e r em \text{pol}, então \dfrac{dV}{dr} tem unidades \text{pol}^{3}/\text{pol}=\text{pol}^{2}. Portanto o resultado é 48\pi\\ \text{pol}^{2}.

Passo 6

Interpretação e aproximação numérica:
  • O valor exato é \,48\pi\\ \text{pol}^{2}.
  • Em valor aproximado, usando \pi\approx3{,}14159,
48\pi \approx 150{,}8\\ \text{pol}^{2}.
Isto significa que, quando o raio é 6 pol, aumentando o raio em 1 polegada o volume aumenta cerca de 150{,}8 polegadas quadradas de volume por polegada de raio — em termos práticos: a variação instantânea do volume naquele ponto é 48\pi\\ \text{pol}^{2}.

Resposta

\left.\dfrac{dV}{dr}\right|_{r=6}=48\pi\\ \text{pol}^{2}

Exercícios relacionados