O volume V de um cilindro circular reto é dado pela fórmula V=\pi r^{2} h, onde r é o raio e h é a altura.
Suponha que h tenha um valor constante de 4 pol, mas que r varie. Determine a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r=6 pol.
Passo 1
O enunciado e os dados que temos são esses (vou listar exatamente o que foi dado):
Fórmula do volume do cilindro: V=\pi r^{2} h.
A altura é constante e vale h=4 pol.
O raio varia; queremos a taxa de variação de V em relação a r no ponto onde r=6 pol.
O que o problema pede:
Calcular \dfrac{dV}{dr} no instante em que r=6 pol (isto é, a derivada de V em relação a r avaliada em r=6).
Passo 2
Substituir a informação de que h é constante na expressão do volume para ter V como função apenas de r. Como h=4 pol, escrevemos:
V(r)=\pi r^{2}\cdot 4.
Podemos reorganizar o fator constante:
V(r)=4\pi r^{2}.
Aqui V(r) significa “volume visto como função do raio r”, e 4\pi é uma constante multiplicando r^{2}.
Passo 3
Explicar o conceito usado: derivada como taxa de variação e regra de diferenciação.
A derivada \dfrac{dV}{dr} é a taxa de variação instantânea do volume quando o raio muda; numericamente diz quanto o volume aumenta (em unidades de volume) quando aumentamos o raio em uma unidade.
Para diferenciar V(r)=4\pi r^{2} usamos duas regras simples:
Regra da constante: se C é constante, \dfrac{d}{dr}\big(C\cdot f(r)\big)=C\cdot f'(r).
Regra do poder (power rule): para f(r)=r^{n}, \dfrac{d}{dr}r^{n}=n r^{n-1}.
Aqui C=4\pi e f(r)=r^{2}. Aplicando as regras, multiplicamos 4\pi pela derivada de r^{2}.
Passo 4
Calcular a derivada passo a passo:
Primeiro a derivada de r^{2} segundo a regra do poder é 2r. Aplicando a constante 4\pi:
Unidades: V está em \text{pol}^{3} e r em \text{pol}, então \dfrac{dV}{dr} tem unidades \text{pol}^{3}/\text{pol}=\text{pol}^{2}. Portanto o resultado é 48\pi\\ \text{pol}^{2}.
Passo 6
Interpretação e aproximação numérica:
O valor exato é \,48\pi\\ \text{pol}^{2}.
Em valor aproximado, usando \pi\approx3{,}14159,
48\pi \approx 150{,}8\\ \text{pol}^{2}.
Isto significa que, quando o raio é 6 pol, aumentando o raio em 1 polegada o volume aumenta cerca de 150{,}8 polegadas quadradas de volume por polegada de raio — em termos práticos: a variação instantânea do volume naquele ponto é 48\pi\\ \text{pol}^{2}.