Considere a curva C parametrizada por
r(t)=(cos t+t sin t, sin t-t cos t, 12 t^2), 0 <= t <= ell
(b) Encontre o comprimento da curva C.

Passo 1

O enunciado dá a curva C parametrizada por
vec r(t)=l(cos t + tsin t,;sin t - tcos t,;tfrac12t^2r), 0<= t<= ell,
e pede o comprimento de arco de C.
Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de curva parametrizada:
L = integral0^ell llVert vec r,'(t)rrVert,dt

Passo 2

Calculamos a derivada componente a componente:
ddtl(cos t + tsin tr) = -sin t + sin t + tcos t = tcos t,
ddtl(sin t - tcos tr) = cos t -l(cos t - tsin tr) = tsin t,
ddtl(tfrac12t^2r) = t
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vec r,'(t) = l(tcos t,;tsin t,;tr)

Passo 3

Agora calculamos a norma de vec r,'(t):
llVert vec r,'(t)rrVert =raiz(tcos t)^2+(tsin t)^2+t^2 =raizt^2(cos^2t+sin^2t)+t^2 =raizt^2+t^2 =raiz2,t^2 =traiz2

Passo 4

Substituímos na fórmula do comprimento:
L = integral0^ell traiz2 ,dt =raiz2integral0^ell t,dt =raiz2cdotell^22 =ell^2raiz2

Resposta

L = ell^2raiz2

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