Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
(a) r(t)=(3+cos t, 2+sin t).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma curva definida por r(t) = (3 + cos t, 2 + sin t), e a tarefa é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco a partir de t=0, indo na direção crescente de t. Isso está dentro do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular o comprimento de arco da curva e então expressar o parâmetro t em função desse comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar pelo comprimento de arco. Basicamente, queremos que o parâmetro da nossa curva seja o próprio comprimento percorrido ao longo da curva a partir de um ponto inicial. Isso facilita em muitas aplicações, porque relaciona diretamente o parâmetro com a distância real percorrida.

Passo 3

Para fazer isso, precisamos encontrar uma função s(t) que representa o comprimento de arco da curva desde t=0 até um valor qualquer t. A fórmula geral para o comprimento de arco é:
s(t) = integral0^t |r,'(tau)| dtau
Onde r,'(tau) é a derivada da posição em relação a t.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de r(t). Temos:
r,'(t) = ( ddt(3 + cos t), ddt(2 + sin t) ) = (-sin t, cos t)

Passo 5

Agora, calculamos a norma dessa derivada, que representa a velocidade da curva:
|r,'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 = raizsin^2 t + cos^2 t = raiz1 = 1
Legal, a velocidade é constante e igual a 1.

Passo 6

Com isso, o comprimento de arco até o ponto t é:
s(t) = integral0^t 1 , dtau = t
Então, s(t) = t. Isso significa que o comprimento de arco é diretamente igual a t.

Passo 7

Agora, para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar t em função de s. Mas, como vimos que s = t, isso já está feito: t = s.

Passo 8

Portanto, a nova parametrização da curva em termos do comprimento de arco s é:
r(s) = (3 + cos s, 2 + sin s)

Resposta

A reparametrização da curva pelo comprimento de arco a partir de t=0 na direção crescente de t é:
r(s) = ( 3 + cos s, 2 + sin s )

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