Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde
na direção crescente de
.
(a)
.
(a)
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma curva definida por
, e a tarefa é reparametrizar essa curva pelo comprimento de arco a partir de
, indo na direção crescente de
. Isso está dentro do estudo de cálculo vetorial, especificamente sobre parametrizações de curvas. Para resolver, vamos precisar calcular o comprimento de arco da curva e então expressar o parâmetro
em função desse comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa reparametrizar pelo comprimento de arco. Basicamente, queremos que o parâmetro da nossa curva seja o próprio comprimento percorrido ao longo da curva a partir de um ponto inicial. Isso facilita em muitas aplicações, porque relaciona diretamente o parâmetro com a distância real percorrida.
Passo 3
Para fazer isso, precisamos encontrar uma função
que representa o comprimento de arco da curva desde
até um valor qualquer
. A fórmula geral para o comprimento de arco é:
Onde
é a derivada da posição em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Temos:
Passo 5
Agora, calculamos a norma dessa derivada, que representa a velocidade da curva:
Legal, a velocidade é constante e igual a 1.
Passo 6
Com isso, o comprimento de arco até o ponto
é:
Então,
. Isso significa que o comprimento de arco é diretamente igual a
.
Passo 7
Agora, para reparametrizar a curva pelo comprimento de arco, precisamos expressar
em função de
. Mas, como vimos que
, isso já está feito:
.
Passo 8
Portanto, a nova parametrização da curva em termos do comprimento de arco
é:
Resposta
A reparametrização da curva pelo comprimento de arco a partir de
na direção crescente de
é: