Considere a curva plana
, denominada astroide, definida pela equação implícita
onde
é uma constante real. Determine uma parametrização
para
, especificando o intervalo do parâmetro
necessário para percorrer a curva completa uma única vez.
Passo 1
O enunciado dá a curva implícita
com
, e pede uma parametrização
que percorra a curva completa exatamente uma vez.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A equação implícita da curva é
. - A constante
é positiva ( ). - Precisa-se do intervalo de
que percorre toda a curva uma única vez.
Passo 2
Ideia para parametrizar: reconhecer uma soma de dois termos que lembra a identidade trigonométrica
. Para tornar isso claro, divido a equação por
e introduzo raízes cúbicas:
Agora defino as quantidades
onde a notação
indica a raiz cúbica real (função ímpar e injetora). Com essas definições temos
Portanto
pertence ao círculo unitário. Uma parametrização natural do círculo unitário é
para um parâmetro
. Voltando às coordenadas
obtém-se
Assim propomos a parametrização
Passo 3
Verificação direta de que a parametrização satisfaz a equação implícita. Calculo
com
e
:
Somando,
logo a parametrização satisfaz exatamente a equação da astroide para todo
.
Passo 4
Mostrando que a parametrização cobre toda a curva: seja
um ponto que satisfaz
. Defina
Como antes,
, então existem
tais que
e
(escolhendo
no intervalo apropriado para respeitar os sinais de
e
). Com essa escolha tem-se
e
. Portanto todo ponto da curva é atingido por
para algum
.
Sobre unicidade (percorrer a curva apenas uma vez): a função
é injetora em
, então se
e
segue
e
, o que implica
. Logo a parametrização não repete pontos para valores distintos de
dentro de um intervalo de comprimento
.
Passo 5
Escolha do intervalo de
que percorre a curva completa uma única vez: como
e
têm período
e a análise anterior mostrou unicidade modulo
, um intervalo conveniente é
Neste intervalo cada ponto da astroide aparece exatamente uma vez. (Poder-se-ia também usar
, com
e
representando o mesmo ponto inicial; escolher
evita a repetição.)
Observação útil para a prova: a curva tem cuspídeos (pontos onde
), por exemplo em
, que correspondem aos quatro pontos
e
. Isso é esperado para a astroide e não impede a parametrização; apenas significa que a parametrização não é regular nesses pontos.