Considere a curva plana C, denominada astroide, definida pela equação implícita
x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=a^{2 / 3}
onde a>0 é uma constante real. Determine uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t), y(t)) para C, especificando o intervalo do parâmetro t necessário para percorrer a curva completa uma única vez.

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3},
com a>0, e pede uma parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t)) que percorra a curva completa exatamente uma vez.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação implícita da curva é \;x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}\;.
  • A constante a é positiva ( a>0).
  • Precisa-se do intervalo de t que percorre toda a curva uma única vez.

Passo 2

Ideia para parametrizar: reconhecer uma soma de dois termos que lembra a identidade trigonométrica \cos^2 t+\sin^2 t=1. Para tornar isso claro, divido a equação por a^{2/3} e introduzo raízes cúbicas:
\frac{x^{2/3}}{a^{2/3}}+\frac{y^{2/3}}{a^{2/3}}=1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad \left(\frac{x}{a}\right)^{2/3}+\left(\frac{y}{a}\right)^{2/3}=1.
Agora defino as quantidades
u=\left(\frac{x}{a}\right)^{1/3},\qquad v=\left(\frac{y}{a}\right)^{1/3},
onde a notação (\cdot)^{1/3} indica a raiz cúbica real (função ímpar e injetora). Com essas definições temos
u^{2}+v^{2}=1.
Portanto (u,v) pertence ao círculo unitário. Uma parametrização natural do círculo unitário é
u=\cos t,\qquad v=\sin t
para um parâmetro t. Voltando às coordenadas x,y obtém-se
x = a\,u^{3} = a\cos^{3}t,\qquad y = a\,v^{3} = a\sin^{3}t.
Assim propomos a parametrização
\mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos^{3}t,\; a\sin^{3}t\bigr).

Passo 3

Verificação direta de que a parametrização satisfaz a equação implícita. Calculo x^{2/3}+y^{2/3} com x=a\cos^{3}t e y=a\sin^{3}t:
x^{2/3} = (a\cos^{3}t)^{2/3} = a^{2/3}\cos^{2}t, \qquad y^{2/3} = (a\sin^{3}t)^{2/3} = a^{2/3}\sin^{2}t.
Somando,
x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=a^{2/3}\cdot 1 = a^{2/3},
logo a parametrização satisfaz exatamente a equação da astroide para todo t.

Passo 4

Mostrando que a parametrização cobre toda a curva: seja (x,y) um ponto que satisfaz \;x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}. Defina
u=\left(\frac{x}{a}\right)^{1/3},\qquad v=\left(\frac{y}{a}\right)^{1/3}.
Como antes, u^{2}+v^{2}=1, então existem t tais que u=\cos t e v=\sin t (escolhendo t no intervalo apropriado para respeitar os sinais de u e v). Com essa escolha tem-se x=a\cos^{3}t e y=a\sin^{3}t. Portanto todo ponto da curva é atingido por \mathbf{r}(t) para algum t.
Sobre unicidade (percorrer a curva apenas uma vez): a função s\mapsto s^{3} é injetora em \mathbb{R}, então se \cos^{3}t_{1}=\cos^{3}t_{2} e \sin^{3}t_{1}=\sin^{3}t_{2} segue \cos t_{1}=\cos t_{2} e \sin t_{1}=\sin t_{2}, o que implica t_{1}\equiv t_{2}\pmod{2\pi}. Logo a parametrização não repete pontos para valores distintos de t dentro de um intervalo de comprimento 2\pi.

Passo 5

Escolha do intervalo de t que percorre a curva completa uma única vez: como \cos e \sin têm período 2\pi e a análise anterior mostrou unicidade modulo 2\pi, um intervalo conveniente é
0\le t<2\pi.
Neste intervalo cada ponto da astroide aparece exatamente uma vez. (Poder-se-ia também usar [0,2\pi], com t=0 e t=2\pi representando o mesmo ponto inicial; escolher [0,2\pi) evita a repetição.)
Observação útil para a prova: a curva tem cuspídeos (pontos onde \mathbf{r}'(t)=\mathbf{0}), por exemplo em t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2}, que correspondem aos quatro pontos (\pm a,0) e (0,\pm a). Isso é esperado para a astroide e não impede a parametrização; apenas significa que a parametrização não é regular nesses pontos.

Resposta

\displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos^{3}t,\;a\sin^{3}t\bigr),\qquad 0\le t<2\pi

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