Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares: \varphi(x, y)=x^{2}-x y . R: \vec{\nabla} \varphi=(2 x-y) \vec{i}-x \vec{j}
Passo 1
O enunciado dá a função potencial escalar \varphi(x,y)=x^{2}-x y e pede para calcular o campo vetorial gradiente \vec{\nabla}\varphi.
Informações relevantes fornecidas:
A função escalar é \varphi(x,y)=x^{2}-x y.
O objetivo é encontrar \vec{\nabla}\varphi, isto é, o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de \varphi.
Passo 2
O que é o gradiente e como vamos representar?
O gradiente de uma função escalar de duas variáveis \varphi(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de \varphi. Em notação:
Interpretação rápida e útil para prova: a componente \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} mede a taxa de variação de \varphi quando só x varia (mantendo y fixo). A componente \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} mede a variação quando só y varia (mantendo x fixo).
Passo 3
Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de jeito simples):
Regra do poder: \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Derivada parcial de um produto quando uma das letras é tratada como constante: ao derivar em relação a x a expressão -x y, trata-se y como constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-x y)=-y. Do mesmo modo, ao derivar em relação a y, x é tratado como constante e \dfrac{\partial}{\partial y}(-x y)=-x.
Derivada de uma constante (em relação à variável considerada) é zero.
Passo 4
Cálculo detalhado de \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}:
Começando por \varphi(x,y)=x^{2}-x y,
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x y\bigr)=y \quad(\text{pois }y\text{ é constante em relação a }x).
Portanto
\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=2x - y.
Passo 5
Cálculo detalhado de \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}:
Novamente \varphi(x,y)=x^{2}-x y,
Agora x^{2} é constante quando derivamos em relação a y, então
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0, \qquad \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x y\bigr)=x \quad(\text{pois }x\text{ é constante em relação a }y).
Portanto
\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=0 - x = -x.
Passo 6
Montando o gradiente com as componentes encontradas: