Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
\varphi(x, y)=x^{2}-x y . R: \vec{\nabla} \varphi=(2 x-y) \vec{i}-x \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá a função potencial escalar \varphi(x,y)=x^{2}-x y e pede para calcular o campo vetorial gradiente \vec{\nabla}\varphi.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função escalar é \varphi(x,y)=x^{2}-x y.
  • O objetivo é encontrar \vec{\nabla}\varphi, isto é, o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de \varphi.

Passo 2

O que é o gradiente e como vamos representar?
  • O gradiente de uma função escalar de duas variáveis \varphi(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais de \varphi. Em notação:
\vec{\nabla}\varphi=\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\right)\vec{i}+\left(\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}\right)\vec{j}.
  • Interpretação rápida e útil para prova: a componente \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} mede a taxa de variação de \varphi quando só x varia (mantendo y fixo). A componente \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} mede a variação quando só y varia (mantendo x fixo).

Passo 3

Regras de diferenciação que vamos usar (explicadas de jeito simples):
  • Regra do poder: \dfrac{d}{dx}(x^{n})=n x^{n-1}. Ex.: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x.
  • Derivada parcial de um produto quando uma das letras é tratada como constante: ao derivar em relação a x a expressão -x y, trata-se y como constante, então \dfrac{\partial}{\partial x}(-x y)=-y. Do mesmo modo, ao derivar em relação a y, x é tratado como constante e \dfrac{\partial}{\partial y}(-x y)=-x.
  • Derivada de uma constante (em relação à variável considerada) é zero.

Passo 4

Cálculo detalhado de \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}:
Começando por \varphi(x,y)=x^{2}-x y,
\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x y\bigr).
Aplicando as regras:
\dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x, \qquad \dfrac{\partial}{\partial x}\bigl(x y\bigr)=y \quad(\text{pois }y\text{ é constante em relação a }x).éçã
Portanto
\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}=2x - y.

Passo 5

Cálculo detalhado de \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}:
Novamente \varphi(x,y)=x^{2}-x y,
\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)-\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x y\bigr).
Agora x^{2} é constante quando derivamos em relação a y, então
\dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0, \qquad \dfrac{\partial}{\partial y}\bigl(x y\bigr)=x \quad(\text{pois }x\text{ é constante em relação a }y).éçã
Portanto
\dfrac{\partial \varphi}{\partial y}=0 - x = -x.

Passo 6

Montando o gradiente com as componentes encontradas:
\vec{\nabla}\varphi=\left(2x-y\right)\vec{i}+\left(-x\right)\vec{j}.
Forma alternativa (vetor coluna) que às vezes aparece em provas:
\vec{\nabla}\varphi=\begin{pmatrix}2x-y\\[4pt]-x\end{pmatrix}.]

Passo 7

Checagem rápida num ponto para ganhar confiança (exemplo prático):
Se (x,y)=(1,2), então
\dfrac{\partial \varphi}{\partial x}\Big|_{(1,2)}=2\cdot 1-2=0, \qquad \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}\Big|_{(1,2)}=-1.
Logo \vec{\nabla}\varphi(1,2)=0\cdot\vec{i}-1\cdot\vec{j}=(0,-1), o que confirma a fórmula.

Resposta

\vec{\nabla}\varphi=(2x-y)\vec{i}-x\vec{j}

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