Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
\Phi(x, y, z)=x y z \operatorname{sen}(x+y z) . R: \vec{\nabla} \Phi=y z[\operatorname{sen}(x+y z)+x \cos (x+y z)] \vec{i}+x z[\operatorname{sen}(x+ y z)+y z \cos (x+y z)] \vec{j}+x y[\operatorname{sen}(x+y z)+y z \cos (x+y z)] \vec{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o campo vetorial gradiente da função potencial escalar dada. As informações que temos são:
  • A função escalar é \Phi(x,y,z)=x\,y\,z\,\sin(x+y z).
  • O que se pede é o vetor gradiente \vec{\nabla}\Phi, ou seja, os três parciais \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}, \dfrac{\partial\Phi}{\partial y} e \dfrac{\partial\Phi}{\partial z}.

Passo 2

O que é o gradiente? Vamos lembrar a definição (isso é importantíssimo para a prova).
\vec{\nabla}\Phi=\frac{\partial\Phi}{\partial x}\,\vec{i}+\frac{\partial\Phi}{\partial y}\,\vec{j}+\frac{\partial\Phi}{\partial z}\,\vec{k}.
Aqui \dfrac{\partial\Phi}{\partial x} significa: derivar \Phi em relação a x tratando y e z como constantes; análogas interpretações valem para as outras derivadas parciais. Nosso trabalho é calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma prática):
  1. Regra do produto: se f(x)=u(x)\,v(x), então \dfrac{df}{dx}=u'\,v+u\,v'. No caso de parciais aplica-se da mesma forma: tratar as outras variáveis como constantes.
  2. Regra da cadeia: se v(x)=\sin(g(x)), então v'(x)=\cos(g(x))\cdot g'(x).
    No nosso problema \Phi(x,y,z)=u(x,y,z)\,v(x,y,z) com
u(x,y,z)=x\,y\,z,\qquad v(x,y,z)=\sin(x+y z).
Vamos aplicar produto + cadeia em cada parcial.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}.
Primeiro calcule as derivadas necessárias:
  • \dfrac{\partial u}{\partial x}=y z (pois y e z são constantes ao derivar em x).
  • Para v=\sin(x+y z) aplicamos a regra da cadeia: \frac{\partial v}{\partial x}=\cos(x+y z)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(x+y z)=\cos(x+y z)\cdot 1=\cos(x+y z).
Agora use a regra do produto:
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial x}\,v+u\,\frac{\partial v}{\partial x}=y z\sin(x+y z)+x y z\cos(x+y z).
Fatorando y z:
\frac{\partial\Phi}{\partial x}=y z\bigl(\sin(x+y z)+x\cos(x+y z)\bigr).

Passo 5

Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}.
Derivadas parciais necessárias:
  • \dfrac{\partial u}{\partial y}=x z.
  • \dfrac{\partial v}{\partial y}=\cos(x+y z)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(x+y z)=\cos(x+y z)\cdot z = z\cos(x+y z).
    Aplicando produto:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x z\sin(x+y z)+x y z\cdot z\cos(x+y z).
Note que x y z\cdot z = x y z^{2}. Fatorando x z:
\frac{\partial\Phi}{\partial y}=x z\bigl(\sin(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr).

Passo 6

Cálculo de \dfrac{\partial\Phi}{\partial z}.
Derivadas parciais:
  • \dfrac{\partial u}{\partial z}=x y.
  • \dfrac{\partial v}{\partial z}=\cos(x+y z)\cdot\frac{\partial}{\partial z}(x+y z)=\cos(x+y z)\cdot y = y\cos(x+y z).
    Aplicando produto:
\frac{\partial\Phi}{\partial z}=x y\sin(x+y z)+x y z\cdot y\cos(x+y z).
E x y z\cdot y = x y^{2} z. Fatorando x y:
\frac{\partial\Phi}{\partial z}=x y\bigl(\sin(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr).

Passo 7

Montando o vetor gradiente com os três componentes que encontramos:
\vec{\nabla}\Phi = y z\bigl(\sin(x+y z)+x\cos(x+y z)\bigr)\,\vec{i} + x z\bigl(\sin(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr)\,\vec{j} + x y\bigl(\sin(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr)\,\vec{k}.
Dica prática para a prova: sempre identifique uma parte comum (aqui u=x y z e v=\sin(x+y z)). Ao aplicar produto, calcule \partial u/\partial x, \partial v/\partial x (e análogos) separadamente, escreva a soma e só depois fatorize se desejar simplificar o resultado. Isso evita erros de sinais e de esquecer fatores da regra da cadeia.

Resposta

\vec{\nabla}\Phi=y z\bigl(\sin(x+y z)+x\cos(x+y z)\bigr)\vec{i}+x z\bigl(\sin(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr)\vec{j}+x y\bigl(\sin(x+y z)+y z\cos(x+y z)\bigr)\vec{k}

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