Calcule o campo vetorial gradiente das seguintes funções potenciais escalares:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o campo vetorial gradiente da função potencial escalar dada. As informações que temos são:
- A função escalar é
. - O que se pede é o vetor gradiente
, ou seja, os três parciais , e .
Passo 2
O que é o gradiente? Vamos lembrar a definição (isso é importantíssimo para a prova).
Aqui
significa: derivar
em relação a
tratando
e
como constantes; análogas interpretações valem para as outras derivadas parciais. Nosso trabalho é calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Ferramentas que vamos usar (explicadas de forma prática):
- Regra do produto: se
, então . No caso de parciais aplica-se da mesma forma: tratar as outras variáveis como constantes. - Regra da cadeia: se
, então .
No nosso problemacom
Vamos aplicar produto + cadeia em cada parcial.
Passo 4
Cálculo de
.
Primeiro calcule as derivadas necessárias:
-
(pois e são constantes ao derivar em ). - Para
aplicamos a regra da cadeia:
Agora use a regra do produto:
Fatorando
:
Passo 5
Cálculo de
.
Derivadas parciais necessárias:
-
. -
Aplicando produto:
Note que
. Fatorando
:
Passo 6
Cálculo de
.
Derivadas parciais:
-
. -
Aplicando produto:
E
. Fatorando
:
Passo 7
Montando o vetor gradiente com os três componentes que encontramos:
Dica prática para a prova: sempre identifique uma parte comum (aqui
e
). Ao aplicar produto, calcule
,
(e análogos) separadamente, escreva a soma e só depois fatorize se desejar simplificar o resultado. Isso evita erros de sinais e de esquecer fatores da regra da cadeia.