Considere a curva
.
(a) Esboce o gráfico e determine sua curvatura;
(b) Obtenha os valores de
para os quais a curvatura máxima e mínima. Justifique geometricamente.
Resp.: Elipse no plano
; Máx:
e Min:
(a) Esboce o gráfico e determine sua curvatura;
(b) Obtenha os valores de
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva parametrizada
, com
e
.
O conteúdo é cálculo de curvatura de curva parametrizada no plano, e vamos usar as derivadas ,
e a fórmula de curvatura.
O conteúdo é cálculo de curvatura de curva parametrizada no plano, e vamos usar as derivadas
Passo 2
Calculamos as derivadas primeiro:
Passo 3
Usamos a definição de curvatura para curva espacial parametrizada por comprimento genérico:
Como
e
estão no plano
, o produto vetorial tem só componente
e
Passo 4
Calculamos
logo
Também
Substituindo na fórmula, obtemos
Passo 5
Para achar máximos e mínimos de
basta estudar a função
Como
, temos
– mínimo quando
, isto é
, daí
é máximo nessas
.
– máximo quando
, isto é
, daí
é mínimo nessas
.
Geometricamente, nos vértices do eixo maior ( ) o raio de curvatura é menor, logo curvatura maior; nos vértices do eixo menor (
) o raio de curvatura é maior, logo curvatura menor.
–
–
Geometricamente, nos vértices do eixo maior (
Resposta
máximos em