Considere a curva \vec{r}(t)=(a \cos t, b \sin t, 0), a>b>0, a, b \in \mathbb{R}, t \in[0,2 \pi[.
(a) Esboce o gráfico e determine sua curvatura;
(b) Obtenha os valores de t para os quais a curvatura máxima e mínima. Justifique geometricamente.
Resp.: Elipse no plano x y ; k(t)=\frac{a b}{\left(a^{2} \sin ^{2} t+b^{2} \cos ^{2} t\right)^{3 / 2}}; Máx: \{0, \pi\} e Min: \left\{\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right\}

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva parametrizada
\vec r(t) = (a\cos t,\;b\sin t,\;0), com a>b>0 e t\in[0,2\pi[.
O conteúdo é cálculo de curvatura de curva parametrizada no plano, e vamos usar as derivadas \vec r'(t), \vec r''(t) e a fórmula de curvatura.

Passo 2

Calculamos as derivadas primeiro:
\displaystyle \vec r'(t) = (-a\sin t,\;b\cos t,\;0)
\displaystyle \vec r''(t) = (-a\cos t,\;-b\sin t,\;0)

Passo 3

Usamos a definição de curvatura para curva espacial parametrizada por comprimento genérico:
\kappa(t) \;=\;\frac{\|\vec r'(t)\times \vec r''(t)\|}{\|\vec r'(t)\|^{3}}.
Como \vec r' e \vec r'' estão no plano xy, o produto vetorial tem só componente z e
\|\vec r'\times \vec r''\| = |x'y'' - y'x''|.

Passo 4

Calculamos
x'y'' - y'x'' = (-a\sin t)(-b\sin t) \;-\;(b\cos t)(-a\cos t) = ab(\sin^2 t + \cos^2 t) = ab,
logo
\|\vec r'(t)\times \vec r''(t)\| = ab.
Também
\|\vec r'(t)\|^2 = a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t.
Substituindo na fórmula, obtemos
\kappa(t) = \frac{ab}{\bigl(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t\bigr)^{3/2}}.

Passo 5

Para achar máximos e mínimos de \kappa(t) basta estudar a função
D(t) \;=\; a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t = b^2 + (a^2 - b^2)\sin^2 t.
Como a^2 - b^2>0, temos
D(t) mínimo quando \sin^2 t=0, isto é t=0,\pi, daí \kappa é máximo nessas t.
D(t) máximo quando \sin^2 t=1, isto é t=\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2, daí \kappa é mínimo nessas t.
Geometricamente, nos vértices do eixo maior ( x=\pm a) o raio de curvatura é menor, logo curvatura maior; nos vértices do eixo menor ( y=\pm b) o raio de curvatura é maior, logo curvatura menor.

Resposta

\displaystyle \kappa(t)=\frac{ab}{\bigl(a^2\sin^2t+b^2\cos^2t\bigr)^{3/2}},
máximos em \{0,\pi\} e mínimos em \{\tfrac{\pi}{2},\tfrac{3\pi}{2}\}.

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