Seja C uma circunferência de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0. Faça o que se pede:
(a) Determine uma parametrização para C.
(b) Mostre que, em todo o ponto, a curvatura de C é inversamente proporcional ao seu raio.
Passo 1
O enunciado dá uma circunferência C de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0. Precisamos (a) encontrar uma parametrização \mathbf{r}(t) que descreva C e (b) mostrar que a curvatura \kappa de C em qualquer ponto vale \kappa=1/R, isto é, \kappa=1/2. Para isso usaremos a fórmula da curvatura de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t):
Como o raio R da circunferência é 2, concluímos que em todo ponto
\kappa=\frac1{R}.
Resposta
(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\;1+2\sin t,\;0\bigr),\;t\in[0,2\pi].\n(b) A curvatura é constante e vale \kappa=1/2=1/R, ou seja, inversamente proporcional ao raio.