Seja C uma circunferência de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0. Faça o que se pede:
(a) Determine uma parametrização para C.
(b) Mostre que, em todo o ponto, a curvatura de C é inversamente proporcional ao seu raio.

Passo 1

O enunciado dá uma circunferência C de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0. Precisamos (a) encontrar uma parametrização \mathbf{r}(t) que descreva C e (b) mostrar que a curvatura \kappa de C em qualquer ponto vale \kappa=1/R, isto é, \kappa=1/2. Para isso usaremos a fórmula da curvatura de uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t):
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{r}'(t)\times\mathbf{r}''(t)\|}{\|\mathbf{r}'(t)\|^3},
que, no caso planar, equivale a
\kappa(t)=\frac{|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)|}{\bigl(x'(t)^2+y'(t)^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Para parametrizar uma circunferência de raio 2 e centro (0,1) no plano z=0, lembramos que a forma padrão é
(x,y) = (x_0 + R\cos t,\;y_0 + R\sin t),
com R=2, (x_0,y_0)=(0,1) e z=0. Logo escolhemos
\mathbf{r}(t) = \bigl(2\cos t,\;1+2\sin t,\;0\bigr),\quad t\in[0,2\pi].

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de \mathbf{r}(t).
Da parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),0) temos
x(t)=2\cos t,\quad y(t)=1+2\sin t.
Então
x'(t)=-2\sin t,\quad y'(t)=2\cos t,
x''(t)=-2\cos t,\quad y''(t)=-2\sin t.
Substituindo na fórmula planar da curvatura:
|x'y''-y'x''| =\bigl|-2\sin t\cdot(-2\sin t)\;-\;2\cos t\cdot(-2\cos t)\bigr| =4\sin^2t+4\cos^2t =4.
E
x'(t)^2+y'(t)^2 =4\sin^2t+4\cos^2t =4 \quad\Longrightarrow\quad \bigl(x'^2+y'^2\bigr)^{3/2}=4^{3/2}=8.

Passo 4

Com isso
\kappa(t) =\frac{4}{8} =\tfrac12.
Como o raio R da circunferência é 2, concluímos que em todo ponto
\kappa=\frac1{R}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\bigl(2\cos t,\;1+2\sin t,\;0\bigr),\;t\in[0,2\pi].\n(b) A curvatura é constante e vale \kappa=1/2=1/R, ou seja, inversamente proporcional ao raio.

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