Considere que a densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R=5.0 \mathrm{~mm} é uniforme em uma secção transversal do fio e vale \mathrm{J}=2,0 \times 10^{5} \mathrm{~A} / \mathrm{m}^{2}.
Qual a corrente que atravessa a porção externa do fio entre as distâncias radiais R/4 e R?

Passo 1

O enunciado pede a corrente que atravessa a porção externa do fio entre as distâncias radiais R/4 e R.
Dados fornecidos:
R = 5{,}0\\ \mathrm{mm},\qquad J = 2{,}0\times 10^{5}\\ \mathrm{A/m^{2}}.
Queremos calcular a corrente elétrica I que sai através da região anular com raio interno r_{\text{in}}=R/4 e raio externo r_{\text{out}}=R.

Passo 2

Entendendo o que é densidade de corrente e como ela vira corrente total:
Densidade de corrente J é a corrente por unidade de área, ou seja, se J for uniforme e perpendicular à seção, a corrente total que atravessa uma área A é
I = J\cdot A.
Aqui J tem unidade \mathrm{A/m^{2}}, A tem unidade \mathrm{m^{2}} e o produto dá corrente em ampères \mathrm{A}. Vou usar essa relação porque o enunciado diz que J é uniforme na seção transversal.

Passo 3

A área da porção externa (o anel) é a diferença entre a área do círculo de raio R e a área do círculo de raio R/4. Portanto a área A_{\text{anel}} é
A_{\text{anel}} = \pi\bigl(R^{2} - (R/4)^{2}\bigr).

Passo 4

Simplifico a expressão dentro do parêntese:
R^{2} - (R/4)^{2} = R^{2} - \dfrac{R^{2}}{16} = R^{2}\left(1 - \dfrac{1}{16}\right) = R^{2}\cdot \dfrac{15}{16}.
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A_{\text{anel}} = \pi R^{2}\cdot \dfrac{15}{16}.

Passo 5

Substituo na fórmula da corrente total I = J\cdot A:
I = J\cdot \pi R^{2}\cdot \dfrac{15}{16}.
Essa é a expressão final simbólica; agora vamos calcular numericamente.

Passo 6

Faço a conversão da unidade de R para metros:
R = 5{,}0\\ \mathrm{mm} = 5{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Calculo R^{2}:
R^{2} = (5{,}0\times 10^{-3})^{2} = 25\times 10^{-6} = 2{,}5\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 8

Calculo \pi R^{2}:
\pi R^{2} = \pi \times 2{,}5\times 10^{-5} \approx 7{,}8539816\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 9

Multiplico por J para obter a corrente total através da seção inteira e depois aplico o fator \tfrac{15}{16}:
I = J\cdot \pi R^{2}\cdot \dfrac{15}{16} = 2{,}0\times 10^{5}\times 7{,}8539816\times 10^{-5}\times \dfrac{15}{16}.
Primeiro J\cdot \pi R^{2} \approx 15{,}7079633\\ \mathrm{A}. Multiplicando por \tfrac{15}{16} temos
I \approx 15{,}7079633 \times \dfrac{15}{16} \approx 14{,}726\\ \mathrm{A}.

Resposta

I = 14{,}7\\ \mathrm{A}

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