Considere que, em uma determinada região do espaço, há o campo elétrico \vec{E}= 100 x \hat{i} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine a carga total contida dentro:
De um cilindro de raio igual a \ell / 2 e altura \ell.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O campo elétrico é \vec{E}=100\,x\,\hat{i}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
  • Há um cilindro de raio igual a \ell/2 e altura igual a \ell.
    O que é pedido: determinar a carga total contida dentro desse cilindro.
Observação importante: o enunciado não diz a posição do cilindro, mas a expressão de \vec{E} foi dada como válida “em uma determinada região do espaço”. Vou assumir que o cilindro está inteiramente nessa região onde a expressão vale; nesse caso a resposta será independente da posição, porque a densidade de carga resultante será constante (veremos isso adiante).

Passo 2

Escolha do método (e por quê): uma forma direta de obter a carga total é calcular a densidade volumétrica de carga \rho(\vec{r}) a partir do campo elétrico e depois integrar sobre o volume do cilindro. A relação que liga campo elétrico à densidade de carga local é a forma diferencial da lei de Gauss:
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \nabla\cdot\vec{E} é a divergência do campo elétrico, \rho é a densidade volumétrica de carga (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^3) e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante). Essa escolha é natural porque aqui \vec{E} tem expressão simples que dá uma divergência constante, o que torna \rho constante e a integração trivial. Outra opção seria aplicar a forma integral da lei de Gauss e calcular fluxo pela superfície do cilindro — mais trabalhosa e desnecessária neste caso.

Passo 3

Calcular a divergência de \vec{E}. Escrevendo componentes: \vec{E}=(E_x,E_y,E_z)=(100x,0,0) com x em metros. A divergência em coordenadas cartesianas é
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.
Aqui \partial E_y/\partial y=0 e \partial E_z/\partial z=0. Portanto
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial}{\partial x}(100x)=100.
Isto mostra que a divergência é constante e igual a 100 (unidade \mathrm{V}/\mathrm{m}^2, que combinada com \varepsilon_0 dará \mathrm{C}/\mathrm{m}^3).

Passo 4

Obter a densidade volumétrica de carga \rho usando a lei de Gauss diferencial:
\rho=\varepsilon_0\,\nabla\cdot\vec{E}.
Substituindo a divergência encontrada:
\rho=\varepsilon_0\cdot 100.
Portanto \rho é constante no espaço e vale 100\,\varepsilon_0 (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^3).

Passo 5

Calcular o volume do cilindro. O raio é r=\ell/2 e a altura é h=\ell. O volume de um cilindro é
V=\pi r^2 h.
Substituindo:
V=\pi\left(\frac{\ell}{2}\right)^2\ell=\pi\frac{\ell^2}{4}\ell=\frac{\pi\ell^3}{4}.

Passo 6

Calcular a carga total Q como integral da densidade sobre o volume. Como \rho é constante:
Q=\int_V \rho\,dV=\rho\,V.
Substituindo \rho=100\,\varepsilon_0 e V=\dfrac{\pi\ell^3}{4}:
Q=100\,\varepsilon_0\cdot\frac{\pi\ell^3}{4}=\frac{100\pi\varepsilon_0\ell^3}{4}.
Simplificando \dfrac{100}{4}=25, obtemos
Q=25\pi\,\varepsilon_0\,\ell^3.
Unidade: coulombs ( \mathrm{C}), assumindo \ell em metros.
Observação numérica (se quiser ter ideia da ordem de grandeza): usando \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \mathrm{C}^2/(\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2),
Q\approx 25\pi\cdot 8{,}854\times10^{-12}\,\ell^3 \approx 6{,}96\times10^{-10}\,\ell^3\\ \mathrm{C}.

Resposta

Q=25\pi\,\varepsilon_0\,\ell^3

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