Considere que, em uma determinada região do espaço, há o campo elétrico
. Determine a carga total contida dentro:
De um cilindro de raio igual a
e altura
.
De um cilindro de raio igual a
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O campo elétrico é
. - Há um cilindro de raio igual a
e altura igual a .
O que é pedido: determinar a carga total contida dentro desse cilindro.
Observação importante: o enunciado não diz a posição do cilindro, mas a expressão de
foi dada como válida “em uma determinada região do espaço”. Vou assumir que o cilindro está inteiramente nessa região onde a expressão vale; nesse caso a resposta será independente da posição, porque a densidade de carga resultante será constante (veremos isso adiante).
Passo 2
Escolha do método (e por quê): uma forma direta de obter a carga total é calcular a densidade volumétrica de carga
a partir do campo elétrico e depois integrar sobre o volume do cilindro. A relação que liga campo elétrico à densidade de carga local é a forma diferencial da lei de Gauss:
onde
é a divergência do campo elétrico,
é a densidade volumétrica de carga (unidade
) e
é a permissividade do vácuo (constante). Essa escolha é natural porque aqui
tem expressão simples que dá uma divergência constante, o que torna
constante e a integração trivial. Outra opção seria aplicar a forma integral da lei de Gauss e calcular fluxo pela superfície do cilindro — mais trabalhosa e desnecessária neste caso.
Passo 3
Calcular a divergência de
. Escrevendo componentes:
com
em metros. A divergência em coordenadas cartesianas é
Aqui
e
. Portanto
Isto mostra que a divergência é constante e igual a
(unidade
, que combinada com
dará
).
Passo 4
Obter a densidade volumétrica de carga
usando a lei de Gauss diferencial:
Substituindo a divergência encontrada:
Portanto
é constante no espaço e vale
(unidade
).
Passo 5
Calcular o volume do cilindro. O raio é
e a altura é
. O volume de um cilindro é
Substituindo:
Passo 6
Calcular a carga total
como integral da densidade sobre o volume. Como
é constante:
Substituindo
e
:
Simplificando
, obtemos
Unidade: coulombs (
), assumindo
em metros.
Observação numérica (se quiser ter ideia da ordem de grandeza): usando
,