Considere que, em uma determinada região do espaço, há o campo elétrico
. Determine a carga total contida dentro:
De um cubo de lado
centrado na origem.
De um cubo de lado
Passo 1
O enunciado dá o campo elétrico e pede a carga total dentro de um cubo:
- Campo elétrico:
. - A região de interesse: um cubo de lado
centrado na origem (logo suas coordenadas vão de a em ).
O que se pede: determinar a carga total contida dentro desse cubo.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo). Existe uma relação local entre o campo elétrico e a densidade de carga elétrica, dada por
onde:
-
é a divergência do campo elétrico (uma medida de quanto o campo “sai” ou “entra” por unidade de volume), -
é a densidade volumétrica de carga (unidade ), -
é a permissividade do vácuo (constante), .
Explicando divergência de forma prática: para um campo em coordenadas cartesianas,
Essa fórmula é fácil de aplicar quando conhecemos as componentes do campo.
Passo 3
Calcular a divergência para o campo dado. Aqui temos
(em unidades V/m), portanto
Derivando,
logo
Observação: a divergência é constante e igual a
(unidade
derivada que, ao usar a lei, dará densidade de carga em
).
Passo 4
Determinar a densidade de carga
usando
. Como
,
Isto significa que a densidade de carga é constante dentro da região e vale
(unidade
).
Passo 5
Calcular a carga total
dentro do cubo. A definição é
Como
é constante, o integral é simples:
onde
é o volume do cubo. O volume de um cubo de lado
é
. Substituindo
,
Passo 6
Interpretação final e valor numérico aproximado. Usando
, o coeficiente fica
Portanto, numericamente,
com
em metros.