Considere que, em uma determinada região do espaço, há o campo elétrico \vec{E}= 100 x \hat{i} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine a carga total contida dentro:
De um cubo de lado \ell centrado na origem.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico e pede a carga total dentro de um cubo:
  • Campo elétrico: \vec{E}=100\,x\,\hat{i}\\ \text{V/m}.
  • A região de interesse: um cubo de lado \ell centrado na origem (logo suas coordenadas vão de -\tfrac{\ell}{2} a +\tfrac{\ell}{2} em x,y,z).
    O que se pede: determinar a carga total contida dentro desse cubo.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo). Existe uma relação local entre o campo elétrico e a densidade de carga elétrica, dada por
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde:
  • \nabla\cdot\vec{E} é a divergência do campo elétrico (uma medida de quanto o campo “sai” ou “entra” por unidade de volume),
  • \rho é a densidade volumétrica de carga (unidade \text{C}/\text{m}^3),
  • \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo (constante), \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}.
    Explicando divergência de forma prática: para um campo em coordenadas cartesianas \vec{E}=(E_x,E_y,E_z),
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}.
Essa fórmula é fácil de aplicar quando conhecemos as componentes do campo.

Passo 3

Calcular a divergência para o campo dado. Aqui temos \vec{E}=(100x,\,0,\,0) (em unidades V/m), portanto
\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\partial}{\partial x}(100x)+\frac{\partial}{\partial y}(0)+\frac{\partial}{\partial z}(0).
Derivando,
\frac{\partial}{\partial x}(100x)=100,
logo
\nabla\cdot\vec{E}=100.
Observação: a divergência é constante e igual a 100 (unidade \text{V/m} derivada que, ao usar a lei, dará densidade de carga em \text{C}/\text{m}^3).

Passo 4

Determinar a densidade de carga \rho usando \rho=\varepsilon_0\,\nabla\cdot\vec{E}. Como \nabla\cdot\vec{E}=100,
\rho=\varepsilon_0\cdot 100.
Isto significa que a densidade de carga é constante dentro da região e vale \rho=100\,\varepsilon_0 (unidade \text{C}/\text{m}^3).

Passo 5

Calcular a carga total Q dentro do cubo. A definição é
Q=\iiint_{V}\rho\,\mathrm{d}V.
Como \rho é constante, o integral é simples:
Q=\rho\cdot V,
onde V é o volume do cubo. O volume de um cubo de lado \ell é V=\ell^3. Substituindo \rho=100\,\varepsilon_0,
Q=100\,\varepsilon_0\,\ell^3.

Passo 6

Interpretação final e valor numérico aproximado. Usando \varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-12}\\ \text{F/m}, o coeficiente fica
100\,\varepsilon_0\approx 8{,}854\times10^{-10}.
Portanto, numericamente,
Q\approx 8{,}854\times10^{-10}\,\ell^3\\ \text{C},
com \ell em metros.

Resposta

Q=100\,\varepsilon_0\,\ell^3
Q\approx 8{,}854\times10^{-10}\,\ell^3\\ \text{C}

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