Questão 04

Na fase final de descida de uma missão lunar, o módulo encontra-se a 96 m acima da superfície e desce verticalmente com velocidade de \mathbf{7 , 0 ~ m} / \mathbf{s}, em direção ao solo lunar. Nesse instante, um pequeno sensor é liberado sem velocidade relativa ao módulo, passando então a mover-se em queda livre lunar.
Despreze a resistência do meio e admita a aceleração da gravidade na superfície da Lua constante e igual a
g_{L}=1,62 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
Determine o tempo gasto pelo sensor até atingir o solo e o módulo da velocidade imediatamente antes do impacto.
A) 6,2 \mathrm{~s} \mathrm{e} 1,55 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
B) 7,4 \mathrm{~s} \mathrm{e} 1,90 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
C) 8,1 \mathrm{~s} \mathrm{e} 2,05 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
D) 5,9 \mathrm{~s} \mathrm{e} 1,62 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
E) 7,4 \mathrm{~s} \mathrm{e} 1,62 \times 10^{1} \mathrm{~m} / \mathrm{s}
Marque sua resposta:

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (todos tomados do enunciado):
  • Altura inicial do sensor em relação ao solo: h=96\\ \mathrm{m}.
  • Velocidade inicial do sensor (relativa ao solo, rumo ao solo): v_{0}=7,0\\ \mathrm{m}/\mathrm{s} (para baixo).
  • Aceleração da gravidade na Lua (constante): g_{L}=1,62\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} (para baixo).
O que o problema pede:
  • Determinar o tempo gasto pelo sensor até atingir o solo.
  • Determinar o módulo da velocidade do sensor imediatamente antes do impacto.

Passo 2

Escolher convenção de sinais e a equação que vamos usar. Vou tomar o sentido “para baixo” como positivo — isso simplifica porque v_{0} e g_{L} ficam ambos positivos. A equação do movimento para deslocamento sob aceleração constante é
\Delta y = v_{0}t + \tfrac{1}{2} a t^{2},
onde:
  • \Delta y é o deslocamento na direção escolhida (aqui, do ponto de soltura até o solo),
  • v_{0} é a velocidade inicial (na mesma direção),
  • a é a aceleração (aqui a=g_{L}),
  • t é o tempo que queremos achar.
No nosso caso o sensor parte a h=96\\ \mathrm{m} acima do solo e se move \Delta y = 96\\ \mathrm{m} para baixo até atingir o solo. Substituindo a=g_{L} e escrevendo explicitamente:
96 = 7{,}0\,t + \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}62\,t^{2}.

Passo 3

Colocando a equação acima na forma padrão de uma equação quadrática at^{2}+bt+c=0. Primeiro reorganizo:
\tfrac{1}{2}\cdot 1{,}62\,t^{2} + 7{,}0\,t - 96 = 0.
Calculo os coeficientes numéricos:
a = \tfrac{1}{2}\cdot 1{,}62 = 0{,}81,\qquad b=7{,}0,\qquad c=-96.
Usaremos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) para obter t:
t=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

Passo 4

Calcular o discriminante e a raiz:
b^{2}=7{,}0^{2}=49,
-4ac = -4\cdot 0{,}81\cdot(-96)=+311{,}04,
\Delta = b^{2}-4ac = 49 + 311{,}04 = 360{,}04.
Agora a raiz:
\sqrt{\Delta}=\sqrt{360{,}04}\approx 18{,}9747.
Aplicando Bhaskara e escolhendo a raiz positiva (tempo físico positivo):
t=\frac{-7{,}0 + 18{,}9747}{2\cdot 0{,}81}=\frac{11{,}9747}{1{,}62}\approx 7{,}396\\ \mathrm{s}.
Arredondando de acordo com as opções: t\approx 7{,}4\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Agora calculo o módulo da velocidade imediatamente antes do impacto. A expressão para velocidade sob aceleração constante é
v=v_{0}+a t,
onde a=g_{L}. Substituindo os valores:
v=7{,}0 + 1{,}62\times 7{,}396\approx 7{,}0 + 11{,}9747 = 18{,}9747\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Arredondando conforme as alternativas, isso é v\approx 1{,}90\times 10^{1}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}.
Como verificação alternativa (útil na prova): usar a relação independente do tempo
v^{2}=v_{0}^{2}+2 a h,
que dá
v^{2}=7{,}0^{2}+2\cdot 1{,}62\cdot 96 = 49 + 311{,}04 = 360{,}04,
v=\sqrt{360{,}04}\approx 18{,}9747\\ \mathrm{m}/\mathrm{s},
mesmo resultado — bom sinal.

Passo 6

Interpretação final e escolha da alternativa: o tempo é t\approx 7{,}4\\ \mathrm{s} e o módulo da velocidade antes do impacto é v\approx 1{,}90\times 10^{1}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}. Isso corresponde à alternativa B.

Resposta

B) 7,4\\ \mathrm{s} e 1,90\times 10^{1}\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}

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