Considere L(f)(s)=F(s). Determine f(t), sabendo que F(s)=3 s-2s^2(s^2+s-12).

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a função $ f(t) $ sabendo que a transformada de Laplace dela é $ F(s) = \frac{3s - 2}{s{2}\left(s{2}+s-12\right)} $. Isso tá no campo das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta pra resolver equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais pra facilitar encontrar a transformada inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador de $ F(s) $. O denominador é $ s^2 (s^2 + s - 12) $. A gente já tem um fator $ s^2 $, e precisa fatorar $ s^2 + s - 12 $. Procurando dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1, encontramos 4 e -3. Então:
F(s)
Então, o denominador fica:
s^2 (s^2 + s - 12)

Passo 3

Agora, vamos escrever $ F(s) $ como soma de frações parciais. A forma geral será:
F(s)
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por $ s^{2}(s + 4)(s - 3) $ para eliminar os denominadores:
s^2(s + 4)(s - 3)
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
  1. Para $ s = 0 $:
3s - 2 = A s (s + 4)(s - 3) + B (s + 4)(s - 3) + C s^2 (s - 3) + D s^2 (s + 4)
  1. Para $ s = 3 $:
s
  1. Para $ s = -4 $:
s = 0

Passo 5

Agora, precisamos encontrar $ A $. Podemos escolher outro valor para $ s $, por exemplo, $ s = 1 $:
A
Simplificando:
s
Convertendo para denominador comum e resolvendo:
s = 1
Então:
3(1) - 2 = A cdot 1 cdot 5 cdot (-2) + 16 cdot 5 cdot (-2) + 18 cdot 1 cdot (-2) + 19 cdot 1 cdot 5

Passo 6

Agora que temos $ A = -\frac{17}{72} $, $ B = \frac{1}{6} $, $ C = \frac{1}{8} $ e $ D = \frac{1}{9} $, podemos reescrever $ F(s) $ como:
A = -1772

Passo 7

Para encontrar $ f(t) $, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
  1. $ \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right) = 1 $
  2. $ \mathcal{L}{-1}\left(\frac{1}{s{2}}\right) = t $
  3. $ \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s + a}\right) = e^{-a t} $
Aplicando:
f(t)

Resposta

A função $ f(t) $ é dada por:
f(t)

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