Considere
. Determine
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar a função $ f(t) $ sabendo que a transformada de Laplace dela é $ F(s) = \frac{3s - 2}{s{2}\left(s{2}+s-12\right)} $. Isso tá no campo das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta pra resolver equações diferenciais, por exemplo. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples usando frações parciais pra facilitar encontrar a transformada inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador de $ F(s) $. O denominador é $ s^2 (s^2 + s - 12) $. A gente já tem um fator $ s^2 $, e precisa fatorar $ s^2 + s - 12 $. Procurando dois números que multiplicados dão -12 e somados dão 1, encontramos 4 e -3. Então:
Então, o denominador fica:
Passo 3
Agora, vamos escrever $ F(s) $ como soma de frações parciais. A forma geral será:
Nosso objetivo é encontrar os valores de $ A $, $ B $, $ C $ e $ D $.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por $ s^{2}(s + 4)(s - 3) $ para eliminar os denominadores:
Agora, escolhemos valores de $ s $ que simplificam a equação:
- Para $ s = 0 $:
- Para $ s = 3 $:
- Para $ s = -4 $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar $ A $. Podemos escolher outro valor para $ s $, por exemplo, $ s = 1 $:
Simplificando:
Convertendo para denominador comum e resolvendo:
Então:
Passo 6
Agora que temos $ A = -\frac{17}{72} $, $ B = \frac{1}{6} $, $ C = \frac{1}{8} $ e $ D = \frac{1}{9} $, podemos reescrever $ F(s) $ como:
Passo 7
Para encontrar $ f(t) $, aplicamos a transformada inversa de Laplace:
- $ \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s}\right) = 1 $
- $ \mathcal{L}{-1}\left(\frac{1}{s{2}}\right) = t $
- $ \mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{s + a}\right) = e^{-a t} $
Aplicando:
Resposta
A função $ f(t) $ é dada por: