Resolva a equação
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Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação que envolve uma integral com a função $ y(t) $:
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações integrais e transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer que a integral presente na equação é uma convolução entre $ \sin(t) $ e $ y(t) $. Isso pode ser reescrito usando a notação de convolução:
As convoluções são mais fáceis de lidar quando aplicamos a transformada de Laplace, porque a transformada de uma convolução é simplesmente o produto das transformadas individuais.
Passo 3
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de 1 é $ \frac{1}{s} $, e a transformada de $ \sin(t) $ é $ \frac{1}{s^2 + 1} $:
Isso resulta em:
Passo 4
Vamos resolver para $ Y(s) $. Primeiro, trazemos todos os termos envolvendo $ Y(s) $ para um lado:
Fatorando $ Y(s) $:
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
Então:
Passo 5
Agora, isolamos $ Y(s) $:
Podemos dividir os termos:
Passo 6
Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
Então:
Resposta
A solução da equação é: