Resolva a equação 1+integral0^t sin (t-tau) y(tau) d tau=y(t).

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma equação que envolve uma integral com a função $ y(t) $:
y(t)
O conteúdo que vamos usar aqui envolve equações integrais e transformadas de Laplace, que são ferramentas poderosas para resolver esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que a integral presente na equação é uma convolução entre $ \sin(t) $ e $ y(t) $. Isso pode ser reescrito usando a notação de convolução:
sin(t)
As convoluções são mais fáceis de lidar quando aplicamos a transformada de Laplace, porque a transformada de uma convolução é simplesmente o produto das transformadas individuais.

Passo 3

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de 1 é $ \frac{1}{s} $, e a transformada de $ \sin(t) $ é $ \frac{1}{s^2 + 1} $:
1s
Isso resulta em:
sin(t)

Passo 4

Vamos resolver para $ Y(s) $. Primeiro, trazemos todos os termos envolvendo $ Y(s) $ para um lado:
Y(s)
Fatorando $ Y(s) $:
Y(s)
Simplificando a expressão dentro do parênteses:
1s = Y(s) - 1s^2 + 1 Y(s)
Então:
Y(s)

Passo 5

Agora, isolamos $ Y(s) $:
Y(s)
Podemos dividir os termos:
Y(s) = 1s cdot s^2 + 1s^2 = s^2 + 1s^3

Passo 6

Por fim, aplicamos a transformada inversa de Laplace para encontrar $ y(t) $. Sabemos que:
y(t)
L^-11s = 1
Então:
L^-11s^3 = t^22

Resposta

A solução da equação é:
y(t) = 1 + t^22

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