Seja
Expresse f(t)=cc sin (t), & 0 <= t em termos da função degrau.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(t) $ que muda de expressão em diferentes intervalos de $ t $. Nosso objetivo é reescrever essa função usando a função degrau, também conhecida como função de Heaviside. Isso vai nos ajudar a expressar $ f(t) $ de uma maneira mais compacta e organizada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função degrau de Heaviside. Ela é definida assim:
u(t - a) = ll 0, & t < a 1, & t >= a
Essa função “liga” em $ t = a $, mudando de 0 para 1. Usaremos essa propriedade para “ativar” cada parte de $ f(t) $ no seu respectivo intervalo.

Passo 3

Vamos analisar cada trecho da função $ f(t) $:
  1. Para $ 0 \leq t < \pi $:
    A função é $ \sin(t) $. Queremos que essa parte esteja ativa quando $ t $ for maior ou igual a 0 e menor que $ \pi $.
  2. Para $ \pi \leq t < 2\pi $:
    A função é $ t \cos(t) $. Essa parte deve ligar em $ t = \pi $ e desligar em $ t = 2\pi $.
  3. Para $ 2\pi \leq t $:
    A função é $ e^{-4t} $. Essa parte só liga a partir de $ t = 2\pi $.

Passo 4

Agora, vamos expressar cada intervalo usando a função degrau:
  1. Primeiro trecho ($ \sin(t) $):
    Queremos que $ \sin(t) $ seja ativo a partir de $ t = 0 $. Como $ u(t - 0) = u(t) $, que é sempre 1 para $ t \geq 0 $, não precisamos multiplicar por outra função degrau para desligar esse trecho.
  2. Segundo trecho ($ t \cos(t) $):
    Essa parte deve ligar em $ t = \pi $ e desligar em $ t = 2\pi $. Então, usamos:
    sin(t)
  3. Terceiro trecho ($ e^{-4t} $):
    Essa função só começa a atuar a partir de $ t = 2\pi $:
    sin(t)

Passo 5

Finalmente, juntamos todos os trechos para obter a expressão completa de $ f(t) $ em termos da função degrau:
f(t)

Resposta

f(t) = sin(t) + t cos(t) [ u(t - pi) - u(t - 2pi) ] + e^-4t u(t - 2pi)

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