Seja
Expresse
em termos da função degrau.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(t) $ que muda de expressão em diferentes intervalos de $ t $. Nosso objetivo é reescrever essa função usando a função degrau, também conhecida como função de Heaviside. Isso vai nos ajudar a expressar $ f(t) $ de uma maneira mais compacta e organizada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a função degrau de Heaviside. Ela é definida assim:
Essa função “liga” em $ t = a $, mudando de 0 para 1. Usaremos essa propriedade para “ativar” cada parte de $ f(t) $ no seu respectivo intervalo.
Passo 3
Vamos analisar cada trecho da função $ f(t) $:
-
Para $ 0 \leq t < \pi $:
A função é $ \sin(t) $. Queremos que essa parte esteja ativa quando $ t $ for maior ou igual a 0 e menor que $ \pi $. -
Para $ \pi \leq t < 2\pi $:
A função é $ t \cos(t) $. Essa parte deve ligar em $ t = \pi $ e desligar em $ t = 2\pi $. -
Para $ 2\pi \leq t $:
A função é $ e^{-4t} $. Essa parte só liga a partir de $ t = 2\pi $.
Passo 4
Agora, vamos expressar cada intervalo usando a função degrau:
-
Primeiro trecho ($ \sin(t) $):
Queremos que $ \sin(t) $ seja ativo a partir de $ t = 0 $. Como $ u(t - 0) = u(t) $, que é sempre 1 para $ t \geq 0 $, não precisamos multiplicar por outra função degrau para desligar esse trecho. -
Segundo trecho ($ t \cos(t) $):
Essa parte deve ligar em $ t = \pi $ e desligar em $ t = 2\pi $. Então, usamos: -
Terceiro trecho ($ e^{-4t} $):
Essa função só começa a atuar a partir de $ t = 2\pi $:
Passo 5
Finalmente, juntamos todos os trechos para obter a expressão completa de $ f(t) $ em termos da função degrau: