Considere um disco circular de raio
com carga
uniformemente distribuída em sua superfície. (a) Calcule o módulo do campo elétrico
produzido ao longo do eixo z, perpendicular ao disco e que passa pelo seu centro. Em qual direção e sentido aponta o campo? (b) Mostre que a expressão obtida no item (a) se reduz ao campo de uma carga pontual quando
. © Mostre que o campo é praticamente constante (independente de z) quando
. Sugestão: divida o disco em anéis infinitesimais e use o resultado obtido em sala para o campo do anel sobre seu eixo.
Passo 1
Beleza, aqui o que o exercício pede é:
• Conteúdo: cálculo de campo elétrico de uma distribuição contínua de carga (disco uniformemente carregado).
• O que vamos usar: dividir o disco em anéis infinitesimais, pegar a fórmula pronta do campo de um anel no seu eixo (que é
• Conteúdo: cálculo de campo elétrico de uma distribuição contínua de carga (disco uniformemente carregado).
• O que vamos usar: dividir o disco em anéis infinitesimais, pegar a fórmula pronta do campo de um anel no seu eixo (que é
), integrar esses anéis de raio
até
, e extrair só a componente ao longo de
.
Passo 2
Primeiro, imagine um anel fino de raio
e espessura
.
– A densidade superficial de carga do disco é .
– A carga do anel é
– A densidade superficial de carga do disco é
– A carga do anel é
– Pelo resultado do anel, o campo produzido por esse anel no ponto
do eixo é
Devido à simetria, só interessa a componente
, e o vetor campo aponta ao longo do eixo
(se
).
Passo 3
Agora montamos a integral total, somando todos os anéis de
a
:
Passo 4
Bora resolver
Faz
. Então
Logo
Passo 5
Para escrever em função de
, lembre que
. Assim
e o vetor campo é
(aponta pra cima se
).
Passo 6
Limite
. A gente expande
. Então
Como
,
que é o campo de uma carga pontual.
Passo 7
Limite
. Aí
, então
ou seja, campo praticamente constante perto do disco.
Resposta
(a)
apontando para o eixo
se
.
(b) Para
, reduz a
campo de carga pontual.
© Para
,
ou seja, praticamente constante.