Considere um disco circular de raio R com carga Q uniformemente distribuída em sua superfície. (a) Calcule o módulo do campo elétrico E(z) produzido ao longo do eixo z, perpendicular ao disco e que passa pelo seu centro. Em qual direção e sentido aponta o campo? (b) Mostre que a expressão obtida no item (a) se reduz ao campo de uma carga pontual quando z gg R. © Mostre que o campo é praticamente constante (independente de z) quando z ll R. Sugestão: divida o disco em anéis infinitesimais e use o resultado obtido em sala para o campo do anel sobre seu eixo. E(z)=Q4 pi varepsilon0 z(z^2+R^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, aqui o que o exercício pede é:
• Conteúdo: cálculo de campo elétrico de uma distribuição contínua de carga (disco uniformemente carregado).
• O que vamos usar: dividir o disco em anéis infinitesimais, pegar a fórmula pronta do campo de um anel no seu eixo (que é
Erm anel(z)=Qrm anel4pivarepsilon0,zl(z^2+Rrm anel^2r)^3/2
), integrar esses anéis de raio até , e extrair só a componente ao longo de .

Passo 2

Primeiro, imagine um anel fino de raio dQ ;=; sigma,(2pi r,dr) e espessura dE(z);=;dQ4pivarepsilon0;zl(z^2+r^2r)^3/2 .
– A densidade superficial de carga do disco é .
– A carga do anel é
– Pelo resultado do anel, o campo produzido por esse anel no ponto do eixo é
Devido à simetria, só interessa a componente , e o vetor campo aponta ao longo do eixo (se ).

Passo 3

Agora montamos a integral total, somando todos os anéis de E(z) =integral0^R dE =integral0^R sigma,(2pi r,dr)4pivarepsilon0;z(z^2+r^2)^3/2 =sigma,z2varepsilon0integral0^R r,dr(z^2+r^2)^3/2 a :

Passo 4

Bora resolver
I=integral0^R r,dr(z^2+r^2)^3/2
Faz I=12integralu=z^2^u=z^2+R^2u^-3/2,du =12l[-2,u^-1/2r]z^2^z^2+R^2 =l[1raizz^2-1raizz^2+R^2r] =1z-1raizz^2+R^2 . Então
E(z) =sigma,z2varepsilon0l(1z-1raizz^2+R^2r) =sigma2varepsilon0l(1-zraizz^2+R^2r)
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Passo 5

Para escrever em função de boxedE(z)=sigma2varepsilon0l(1-zraizz^2+R^2r), , lembre que . Assim
e o vetor campo é (aponta pra cima se ).

Passo 6

Limite E(z)approxsigma2varepsilon0l(1-zz(1+R^2/2z^2)r) approxsigma2varepsilon0;R^22z^2 =sigma R^24varepsilon0,z^2 . A gente expande E(z)approxQ4pivarepsilon0,z^2, . Então
Como ,
que é o campo de uma carga pontual.

Passo 7

Limite E(z)approxsigma2varepsilon0l(1-zRr)approxsigma2varepsilon0, . Aí , então
ou seja, campo praticamente constante perto do disco.

Resposta

(a)
boxedE(z)=sigma2varepsilon0l(1-zraizz^2+R^2r),hat z,
apontando para o eixo E(z)approxQ4pivarepsilon0,z^2, se E(z)approxsigma2varepsilon0, .
(b) Para , reduz a
campo de carga pontual.
© Para ,
ou seja, praticamente constante.

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