Considere um disco circular de raio R carregado uniformemente com uma densidade de carga superficial \sigma. (a) Calcule o potencial elétrico em um ponto P a uma distância z do centro do disco. (b) Obtenha o vetor campo elétrico no ponto P. (c) Obtenha expressões aproximadas para o campo elétrico nos limites z \gg R e z \ll R e indique a quais sistemas físicos estes dois limites correspondem.

Passo 1

O enunciado descreve um disco de raio R carregado uniformemente com densidade superficial de carga \sigma. Queremos (a) o potencial elétrico V em um ponto P sobre o eixo do disco a uma distância z do centro, (b) o vetor campo elétrico \vec{E} em P e (c) as aproximações de \vec{E} quando z\gg R e z\ll R, identificando os sistemas físicos correspondentes. Para isso usaremos a expressão do potencial eletrostático
V(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm{d}q}{|\vec r-\vec r'|}
e depois \vec E=-\nabla V.

Passo 2

Dividimos o disco em anéis concentricos de raio r' e espessura \mathrm{d}r'. Cada anel tem carga
\mathrm{d}q=\sigma\,(2\pi r'\,\mathrm{d}r')\,,
e cada elemento do anel está à distância \sqrt{r'^2+z^2} do ponto P. Assim
\mathrm{d}V =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{\mathrm{d}q}{\sqrt{r'^2+z^2}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{r'\,\mathrm{d}r'}{\sqrt{r'^2+z^2}}.
Integramos de r'=0 até r'=R:
V(z) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} \int_{0}^{R}\frac{r'\,\mathrm{d}r'}{\sqrt{r'^2+z^2}} =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl[\sqrt{R^2+z^2}-z\Bigr].

Passo 3

O campo elétrico no eixo é \vec E=E_z\,\hat z com
E_z=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}z} =-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}\bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\bigr) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr).
Logo
\vec E(z) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr)\hat z.

Passo 4

Para z\gg R usamos \sqrt{R^2+z^2}\approx z+\frac{R^2}{2z}, daí
E_z\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\,\frac{R^2}{2z^2} =\frac{\pi R^2\sigma}{4\pi\varepsilon_0\,z^2} =\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,z^2}, \quad Q=\pi R^2\sigma,
que é o campo de uma carga pontual Q.
Para z\ll R usamos \sqrt{R^2+z^2}\approx R, obtendo
E_z\approx\frac{\sigma}{2\varepsilon_0},
que é o campo uniforme de uma placa infinita carregada.

Resposta

(a)
V(z)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(\sqrt{R^2+z^2}-z\Bigr).
(b)
\vec E(z) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\Bigl(1-\frac{z}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr)\hat z.
(c) Para z\gg R: \displaystyle \vec E\approx \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\,z^2}\hat z, com Q=\pi R^2\sigma, corresponde ao campo de uma carga pontual.
Para z\ll R: \displaystyle \vec E\approx \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\hat z, corresponde ao campo de um plano infinito como se o disco fosse muito grande.

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