Considere um disco circular de raio R carregado uniformemente com uma densidade de carga superficial
. (a) Calcule o potencial elétrico em um ponto
a uma distância
do centro do disco. (b) Obtenha o vetor campo elétrico no ponto
. (c) Obtenha expressões aproximadas para o campo elétrico nos limites
e
e indique a quais sistemas físicos estes dois limites correspondem.
Passo 1
O enunciado descreve um disco de raio
carregado uniformemente com densidade superficial de carga
. Queremos (a) o potencial elétrico
em um ponto
sobre o eixo do disco a uma distância
do centro, (b) o vetor campo elétrico
em
e (c) as aproximações de
quando
e
, identificando os sistemas físicos correspondentes. Para isso usaremos a expressão do potencial eletrostático
e depois
.
Passo 2
Dividimos o disco em anéis concentricos de raio
e espessura
. Cada anel tem carga
e cada elemento do anel está à distância
do ponto
. Assim
Integramos de
até
:
Passo 3
O campo elétrico no eixo é
com
Logo
Passo 4
Para
usamos
, daí
que é o campo de uma carga pontual
.
Para usamos
, obtendo
Para
que é o campo uniforme de uma placa infinita carregada.
Resposta
(a)
(b)
(c) Para
:
, com
, corresponde ao campo de uma carga pontual.
Para :
, corresponde ao campo de um plano infinito como se o disco fosse muito grande.
Para