52P (Desafio) - Uma esfera maciça, não-condutora, de raio R, tem uma distribuição de carga não uniforme de densidade volumétrica dada por \rho=\rho_{s} r / R, onde \rho_{s} é uma constante e r é a distância do centro da esfera. Mostre que (a) a carga total é \mathrm{Q}=\pi \rho_{\mathrm{s}} \mathrm{R}^{3} e (b) o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dado por
E=\frac{1}{3 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{R^{4}} r^{2}

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera maciça de raio R com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=\rho_{s}\,\frac{r}{R},
onde \rho_{s} é constante e r é a distância ao centro. Vamos (a) calcular a carga total
Q=\int_{V}\rho\,\mathrm{d}V
e (b) usar a Lei de Gauss para obter E(r) no interior.

Passo 2

Para a carga total usamos coordenadas esféricas. O volume elementar é
\mathrm{d}V=4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r,
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Q=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r =\int_{0}^{R}\rho_{s}\,\frac{r}{R}\,4\pi r^{2}\,\mathrm{d}r =\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\int_{0}^{R}r^{3}\,\mathrm{d}r.
Como \displaystyle\int_{0}^{R}r^{3}\,\mathrm{d}r=R^{4}/4, temos
Q=\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\cdot\frac{R^{4}}{4} =\pi\,\rho_{s}\,R^{3}.

Passo 3

Para o campo dentro da esfera, por simetria esférica E só depende de r e aponta radialmente. A Lei de Gauss diz
\oint E\cdot\mathrm{d}A =E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\,Q_{\rm int}(r),
onde Q_{\rm int}(r) é a carga contida em raio r.

Passo 4

Calculamos Q_{\rm int}(r) análogo ao passo 2, integrando até r:
Q_{\rm int}(r) =\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,\mathrm{d}r' =\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\int_{0}^{r}r'^{3}\,\mathrm{d}r' =\frac{4\pi\rho_{s}}{R}\,\frac{r^{4}}{4} =\pi\,\rho_{s}\,\frac{r^{4}}{R}.

Passo 5

Substituindo em Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{1}{\varepsilon_{0}}\;\pi\,\rho_{s}\,\frac{r^{4}}{R} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{\pi\,\rho_{s}\,r^{4}}{4\pi\,\varepsilon_{0}\,R\,r^{2}} =\frac{\rho_{s}}{4\varepsilon_{0}R}\;r^{2}.
Agora escrevemos \rho_{s} em função de Q: de Q=\pi\rho_{s}R^{3} segue \rho_{s}=Q/(\pi R^{3}). Então
E(r) =\frac{1}{4\varepsilon_{0}R}\,\frac{Q}{\pi R^{3}}\,r^{2} =\frac{Q}{4\pi\,\varepsilon_{0}\,R^{4}}\;r^{2}.

Resposta

Q=\pi\,\rho_{s}\,R^{3}
E(r)=\frac{Q}{4\pi\,\varepsilon_{0}\,R^{4}}\;r^{2}.

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