52P (Desafio) - Uma esfera maciça, não-condutora, de raio
, tem uma distribuição de carga não uniforme de densidade volumétrica dada por
, onde
é uma constante e r é a distância do centro da esfera. Mostre que (a) a carga total é
e (b) o campo elétrico dentro da esfera tem módulo dado por
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera maciça de raio
com densidade volumétrica de carga
onde
é constante e
é a distância ao centro. Vamos (a) calcular a carga total
e (b) usar a Lei de Gauss para obter
no interior.
Passo 2
Para a carga total usamos coordenadas esféricas. O volume elementar é
logo
Como
, temos
Passo 3
Para o campo dentro da esfera, por simetria esférica
só depende de
e aponta radialmente. A Lei de Gauss diz
onde
é a carga contida em raio
.
Passo 4
Calculamos
análogo ao passo 2, integrando até
:
Passo 5
Substituindo em Gauss,
Agora escrevemos
em função de
: de
segue
. Então