Considere a distribuição conjunta de X e Y, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo.
(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.
Y - 1 0 1 P(Y=y)
X 1 / 12
- 1 1 / 3
0 1 / 4
1 1 / 4 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela que mostra a distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. A gente precisa completar essa tabela assumindo que $ X $ e $ Y $ são independentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de distribuições conjuntas e independência de variáveis aleatórias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a ocorrência de uma não afeta a ocorrência da outra. Matemáticamente, isso quer dizer que:
X
Ou seja, a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais.

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes conhecidas da tabela. Olhando para a tabela:
  • Sabemos que $ P(X = -1, Y = -1) = \frac{1}{12} $
  • $ P(Y = -1) = \frac{1}{3} $
  • $ P(X = 0, Y = 1) = \frac{1}{4} $
  • $ P(X = 1, Y = -1) = \frac{1}{4} $
  • $ P(Y = 1) = 1 $
Nosso objetivo é encontrar as probabilidades que faltam na tabela.

Passo 4

Vamos começar calculando as probabilidades marginais de $ X $ e $ Y $.
Primeiro, vamos encontrar $ P(X = x) $ para cada valor de $ X $.
Sabemos que:
X
E dado que $ X $ e $ Y $ são independentes, podemos usar:
Y
Vamos calcular $ P(X = -1) $:
P(X = x)
Agora, $ P(X = 1) $:
X
Como a soma das probabilidades de $ X $ deve ser 1:
P(Y = y) = sumx P(X = x, Y = y)
Isso significa que $ P(X = 0) = 0 $.

Passo 5

Agora, com as probabilidades marginais conhecidas, podemos preencher as probabilidades conjuntas usando a independência:
P(X = x, Y = y) = P(X = x) times P(Y = y)
Vamos preencher as células faltantes da tabela.
Para $ X = -1 $:
  • $ P(X = -1, Y = 0) = P(X = -1) \times P(Y = 0) $
  • $ P(Y = 0) $ ainda não foi encontrado. Sabemos que $ P(Y = 1) = 1 $, então:
X = -1
Hmm, isso não faz sentido, pois uma probabilidade negativa não é possível. Parece que houve um erro na interpretação inicial da tabela. Vamos reavaliar.

Passo 6

Vamos relembrar a tabela original e verificar as informações fornecidas:
$ Y $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ P(Y=y) $
$ X $ Y
$ -1 $ -1
$ 0 $ 0
$ 1 $ 1 P(Y=y)
Percebi que na verdade a distribuição de $ Y $ já está parcialmente dada, e precisamos preenchê-la assumindo independência.
Vamos recalcular as probabilidades marginais de $ Y $:
Sabemos que:
X
Mas isso não faz sentido porque:
1 / 12
Isso é impossível, então deve haver uma interpretação diferente da tabela.

Passo 7

Vamos tentar interpretar a tabela de outra forma. Talvez as probabilidades $ P(Y = y) $ estejam sendo listadas nas últimas colunas das linhas correspondentes a cada $ X $.
Reorganizando a tabela:
$ X $ $ Y = -1 $ $ Y = 0 $ $ Y = 1 $ $ P(Y = y) $
$ -1 $ P(Y = y)
$ 0 $ X
$ 1 $ X Y = -1
$ X $ Y = 0
Ainda assim, a interpretação não está clara. Para resolver o problema, vamos supor que as probabilidades fornecidas são:
  • $ P(X = -1, Y = -1) = \frac{1}{12} $
  • $ P(X = -1, Y = 0) = \frac{1}{3} $
  • $ P(X = 0, Y = 1) = \frac{1}{4} $
  • $ P(X = 1, Y = -1) = \frac{1}{4} $
  • $ P(Y = 1) = 1 $
Agora, vamos prosseguir com essa suposição.

Passo 8

Como $ P(Y = 1) = 1 $, isso significa que $ Y $ sempre é igual a 1. Portanto, todas as outras probabilidades $ P(Y = y) $ para $ y \neq 1 $ devem ser zero. Isso simplifica a tabela, já que:
P(Y = 1) = 1
Agora, usando a independência:
Y
Como $ P(Y = 1) = 1 $, temos:
P(Y = y)
E para $ Y \neq 1 $:
y neq 1
Então, apenas as células onde $ Y = 1 $ terão probabilidades iguais a $ P(X = x) $, e as demais serão zero.

Resposta

Considerando que $ Y $ sempre é igual a 1 e $ X $ e $ Y $ são independentes, a tabela completa fica assim:
$ Y $ $ -1 $ $ 0 $ $ 1 $ $ P(Y=y) $
$ X $
$ -1 $ $ 0 $ $ 0 $ $ \frac{1}{4} $
$ 0 $ $ 0 $ $ 0 $ $ 0 $
$ 1 $ $ 0 $ $ 0 $ $ \frac{3}{4} $
$ P(Y=y) $ $ 0 $ $ 0 $ $ 1 $
Observações finais:
  • $ P(X = -1) = \frac{1}{4} $
  • $ P(X = 0) = 0 $
  • $ P(X = 1) = \frac{3}{4} $
Todas as outras probabilidades $ P(X = x, Y = y) $ onde $ y \neq 1 $ são zero, já que $ Y $ sempre é 1.

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