Considere a distribuição conjunta de
e
, parcialmente conhecida, dada na tabela abaixo.
(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.
(a) Complete a tabela, considerando X e Y independentes.
|
|
|
|
|
---|---|---|---|---|
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|||
|
|
1 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma tabela que mostra a distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $. A gente precisa completar essa tabela assumindo que $ X $ e $ Y $ são independentes. Para isso, vamos precisar entender conceitos de distribuições conjuntas e independência de variáveis aleatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa duas variáveis serem independentes. Duas variáveis $ X $ e $ Y $ são independentes se a ocorrência de uma não afeta a ocorrência da outra. Matemáticamente, isso quer dizer que:
Ou seja, a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais.
Passo 3
Agora, vamos identificar as partes conhecidas da tabela. Olhando para a tabela:
- Sabemos que $ P(X = -1, Y = -1) = \frac{1}{12} $
- $ P(Y = -1) = \frac{1}{3} $
- $ P(X = 0, Y = 1) = \frac{1}{4} $
- $ P(X = 1, Y = -1) = \frac{1}{4} $
- $ P(Y = 1) = 1 $
Nosso objetivo é encontrar as probabilidades que faltam na tabela.
Passo 4
Vamos começar calculando as probabilidades marginais de $ X $ e $ Y $.
Primeiro, vamos encontrar $ P(X = x) $ para cada valor de $ X $.
Sabemos que:
E dado que $ X $ e $ Y $ são independentes, podemos usar:
Vamos calcular $ P(X = -1) $:
Agora, $ P(X = 1) $:
Como a soma das probabilidades de $ X $ deve ser 1:
Isso significa que $ P(X = 0) = 0 $.
Passo 5
Agora, com as probabilidades marginais conhecidas, podemos preencher as probabilidades conjuntas usando a independência:
Vamos preencher as células faltantes da tabela.
Para $ X = -1 $:
- $ P(X = -1, Y = 0) = P(X = -1) \times P(Y = 0) $
- $ P(Y = 0) $ ainda não foi encontrado. Sabemos que $ P(Y = 1) = 1 $, então:
Hmm, isso não faz sentido, pois uma probabilidade negativa não é possível. Parece que houve um erro na interpretação inicial da tabela. Vamos reavaliar.
Passo 6
Vamos relembrar a tabela original e verificar as informações fornecidas:
$ Y $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ P(Y=y) $ |
---|---|---|---|---|
$ X $ |
|
|||
$ -1 $ |
|
|||
$ 0 $ |
|
|||
$ 1 $ |
|
|
Percebi que na verdade a distribuição de $ Y $ já está parcialmente dada, e precisamos preenchê-la assumindo independência.
Vamos recalcular as probabilidades marginais de $ Y $:
Sabemos que:
Mas isso não faz sentido porque:
Isso é impossível, então deve haver uma interpretação diferente da tabela.
Passo 7
Vamos tentar interpretar a tabela de outra forma. Talvez as probabilidades $ P(Y = y) $ estejam sendo listadas nas últimas colunas das linhas correspondentes a cada $ X $.
Reorganizando a tabela:
$ X $ | $ Y = -1 $ | $ Y = 0 $ | $ Y = 1 $ | $ P(Y = y) $ |
---|---|---|---|---|
$ -1 $ |
|
|||
$ 0 $ |
|
|||
$ 1 $ |
|
|
||
$ X $ |
|
Ainda assim, a interpretação não está clara. Para resolver o problema, vamos supor que as probabilidades fornecidas são:
- $ P(X = -1, Y = -1) = \frac{1}{12} $
- $ P(X = -1, Y = 0) = \frac{1}{3} $
- $ P(X = 0, Y = 1) = \frac{1}{4} $
- $ P(X = 1, Y = -1) = \frac{1}{4} $
- $ P(Y = 1) = 1 $
Agora, vamos prosseguir com essa suposição.
Passo 8
Como $ P(Y = 1) = 1 $, isso significa que $ Y $ sempre é igual a 1. Portanto, todas as outras probabilidades $ P(Y = y) $ para $ y \neq 1 $ devem ser zero. Isso simplifica a tabela, já que:
Agora, usando a independência:
Como $ P(Y = 1) = 1 $, temos:
E para $ Y \neq 1 $:
Então, apenas as células onde $ Y = 1 $ terão probabilidades iguais a $ P(X = x) $, e as demais serão zero.
Resposta
Considerando que $ Y $ sempre é igual a 1 e $ X $ e $ Y $ são independentes, a tabela completa fica assim:
$ Y $ | $ -1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ P(Y=y) $ |
---|---|---|---|---|
$ X $ | ||||
$ -1 $ | $ 0 $ | $ 0 $ | $ \frac{1}{4} $ | |
$ 0 $ | $ 0 $ | $ 0 $ | $ 0 $ | |
$ 1 $ | $ 0 $ | $ 0 $ | $ \frac{3}{4} $ | |
$ P(Y=y) $ | $ 0 $ | $ 0 $ | $ 1 $ |
Observações finais:
- $ P(X = -1) = \frac{1}{4} $
- $ P(X = 0) = 0 $
- $ P(X = 1) = \frac{3}{4} $
Todas as outras probabilidades $ P(X = x, Y = y) $ onde $ y \neq 1 $ são zero, já que $ Y $ sempre é 1.