Dada a distribuição conjunta de X e Y abaixo, determine a média e a variância de:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma distribuição conjunta das variáveis aleatórias $ X $ e $ Y $ e precisamos encontrar a média e a variância de $ X + Y $. Para isso, vamos precisar entender conceitos como média (esperança matemática) e variância de variáveis aleatórias, além de saber como trabalhar com distribuições conjuntas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média de $ X + Y $. A média de uma soma de variáveis aleatórias é igual à soma das médias delas. Ou seja:
Então, precisamos encontrar $ \mathbb{E}[X] $ e $ \mathbb{E}[Y] $.
Passo 3
Vamos calcular $ \mathbb{E}[X] $. Para isso, somamos todos os valores possíveis de $ X $ multiplicados pela sua probabilidade marginal. Primeiro, encontramos a distribuição marginal de $ X $ somando as probabilidades de $ Y $ para cada $ X $.
Para $ X = 1 $:
Para $ X = 2 $:
Para $ X = 3 $:
Agora, calculamos $ \mathbb{E}[X] $:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \mathbb{E}[Y] $ da mesma forma. Primeiro, encontramos a distribuição marginal de $ Y $ somando as probabilidades de $ X $ para cada $ Y $.
Para $ Y = 1 $:
Para $ Y = 2 $:
Para $ Y = 3 $:
Agora, calculamos $ \mathbb{E}[Y] $:
Passo 5
Agora que temos $ \mathbb{E}[X] = \frac{49}{27} $ e $ \mathbb{E}[Y] = \frac{55}{27} $, vamos somar para encontrar $ \mathbb{E}[X + Y] $:
Passo 6
Agora, vamos calcular a variância de $ X + Y $. A variância da soma de duas variáveis aleatórias é dada por:
Então, precisamos encontrar $ Var(X) $, $ Var(Y) $ e $ Cov(X, Y) $.
Passo 7
Vamos calcular $ Var(X) $. Primeiro, precisamos de $ \mathbb{E}[X^2] $:
Agora, a variância:
Passo 8
Vamos calcular $ Var(Y) $. Primeiro, $ \mathbb{E}[Y^2] $:
Agora, a variância:
Passo 9
Agora, vamos calcular a covariância $ Cov(X, Y) $. Primeiro, precisamos de $ \mathbb{E}[XY] $. Vamos multiplicar cada par $ (X, Y) $ pela sua probabilidade e somar:
Calculando cada termo:
Agora, a covariância:
Passo 10
Agora, podemos colocar tudo junto na fórmula da variância de $ X + Y $:
Resposta
A média de $ X + Y $ é $ \frac{104}{27} $ e a variância de $ X + Y $ é aproximadamente $ 1,902 $.