Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a. X igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de X. Qual a média e a variância da v.a. X?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. A gente vai retirar 3 bolas dessa urna, sem colocar nenhuma de volta. A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas que a gente pode tirar nessas 3 retiradas. Nosso objetivo é descobrir como $ X $ se comporta (ou seja, encontrar a distribuição de $ X $) e também calcular a média e a variância dessa variável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, já que estamos lidando com retiradas sem reposição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os possíveis valores que $ X $ pode assumir. Como estamos retirando 3 bolas e temos 5 pretas na urna, $ X $ pode ser:
  • 0 pretas (todas vermelhas)
  • 1 preta
  • 2 pretas
  • 3 pretas

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, vamos usar a fórmula de combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher bolas de certas cores.
A fórmula de combinação é:
C(n, k) = n!k!(n - k)!
onde:
  • $ n! $ é o fatorial de $ n $,
  • $ C(n, k) $ representa o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de retirar 3 bolas de 8 (sendo 3 vermelhas e 5 pretas):
C(8, 3) = 8!3!(8 - 3)! = 8 times 7 times 63 times 2 times 1 = 56

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar exatamente $ k $ bolas pretas, onde $ k $ pode ser 0, 1, 2 ou 3.
A probabilidade $ P(X = k) $ é dada por:
k
onde:
  • $ C(5, k) $ é o número de maneiras de escolher $ k $ bolas pretas,
  • $ C(3, 3 - k) $ é o número de maneiras de escolher $ 3 - k $ bolas vermelhas.

Passo 6

Vamos calcular cada caso:
  1. $ X = 0 $ (nenhuma preta):
X = 0
  1. $ X = 1 $ (uma preta):
P(X = 0) = C(5, 0) times C(3, 3)56 = 1 times 156 = 156 approx 0,0179 , (1,79%)
  1. $ X = 2 $ (duas pretas):
X = 1
  1. $ X = 3 $ (três pretas):
P(X = 1) = C(5, 1) times C(3, 2)56 = 5 times 356 = 1556 approx 0,2679 , (26,79%)

Passo 7

Agora que temos a distribuição de $ X $, podemos resumir:
X

Passo 8

Agora, vamos calcular a média (ou valor esperado) de $ X $. A média é dada por:
X
Calculando:
E(X) = sumk=0^3 k times P(X = k)

Passo 9

Para a variância de $ X $, usamos a fórmula:
X
Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Agora, subtraímos o quadrado da média:
E(X^2)

Resposta

A distribuição de $ X $ é:
X
A média de $ X $ é aproximadamente 1,875 e a variância de $ X $ é aproximadamente 0,5023.

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