Considere uma urna contendo três bolas vermelhas e cinco pretas. Retire três bolas, sem reposição, e defina a v.a.
igual ao número de bolas pretas. Obtenha a distribuição de
. Qual a média e a variância da v.a. X?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 bolas pretas. A gente vai retirar 3 bolas dessa urna, sem colocar nenhuma de volta. A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas que a gente pode tirar nessas 3 retiradas. Nosso objetivo é descobrir como $ X $ se comporta (ou seja, encontrar a distribuição de $ X $) e também calcular a média e a variância dessa variável. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, já que estamos lidando com retiradas sem reposição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os possíveis valores que $ X $ pode assumir. Como estamos retirando 3 bolas e temos 5 pretas na urna, $ X $ pode ser:
- 0 pretas (todas vermelhas)
- 1 preta
- 2 pretas
- 3 pretas
Passo 3
Agora, vamos calcular a probabilidade de cada um desses cenários acontecer. Para isso, vamos usar a fórmula de combinação, que nos ajuda a contar de quantas maneiras diferentes podemos escolher bolas de certas cores.
A fórmula de combinação é:
onde:
- $ n! $ é o fatorial de $ n $,
- $ C(n, k) $ representa o número de combinações de $ n $ itens tomados $ k $ de cada vez.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o número total de maneiras de retirar 3 bolas de 8 (sendo 3 vermelhas e 5 pretas):
Passo 5
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar exatamente $ k $ bolas pretas, onde $ k $ pode ser 0, 1, 2 ou 3.
A probabilidade $ P(X = k) $ é dada por:
onde:
- $ C(5, k) $ é o número de maneiras de escolher $ k $ bolas pretas,
- $ C(3, 3 - k) $ é o número de maneiras de escolher $ 3 - k $ bolas vermelhas.
Passo 6
Vamos calcular cada caso:
- $ X = 0 $ (nenhuma preta):
- $ X = 1 $ (uma preta):
- $ X = 2 $ (duas pretas):
- $ X = 3 $ (três pretas):
Passo 7
Agora que temos a distribuição de $ X $, podemos resumir:
Passo 8
Agora, vamos calcular a média (ou valor esperado) de $ X $. A média é dada por:
Calculando:
Passo 9
Para a variância de $ X $, usamos a fórmula:
Primeiro, vamos calcular $ E(X^2) $:
Agora, subtraímos o quadrado da média:
Resposta
A distribuição de $ X $ é:
A média de $ X $ é aproximadamente 1,875 e a variância de $ X $ é aproximadamente 0,5023.