Um macaco está pendurado a uma altura h, e uma pessoa a uma distância horizontal d da árvore, no chão, quer atingi-lo com um dardo tranquilizante. Ele aponta diretamente para o macaco e dispara, e o macaco se solta no mesmo instante.
Mostre que a pessoa terá sucesso e encontre a coordenada y do macaco quando ele for atingido. Mostre que a velocidade inicial deve obedecer a
para que essa seja uma solução válida. O que essa condição garante?
Dicas: escreva as equações para as coordenadas x e y do dardo e do macaco. Mostre que, quando o dardo atinge a árvore, o dardo e o macaco têm a mesma coordenada y. A condição sobre
garante que o dardo consiga alcançar a árvore antes que o macaco atinja o chão.
Mostre que a pessoa terá sucesso e encontre a coordenada y do macaco quando ele for atingido. Mostre que a velocidade inicial deve obedecer a
Dicas: escreva as equações para as coordenadas x e y do dardo e do macaco. Mostre que, quando o dardo atinge a árvore, o dardo e o macaco têm a mesma coordenada y. A condição sobre
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
- Um macaco está inicialmente pendurado no tronco a uma altura
acima do chão e a distância horizontal do atirador (ou seja, a posição inicial do macaco é ). - A pessoa está no chão a uma distância horizontal
da árvore (posição do atirador: ). - No instante do disparo o macaco solta-se (velocidade vertical inicial do macaco igual a zero).
- A pessoa aponta diretamente para o macaco e dispara um dardo com velocidade inicial de módulo
ao longo da linha que liga o atirador ao macaco no instante inicial.
O que o enunciado pede:
- Mostrar que o dardo atinge o macaco (isto é, demonstrar que, no ponto de encontro sobre a árvore, as coordenadas são iguais).
- Encontrar a coordenada
do macaco no instante em que é atingido (ou seja, a altura onde ocorre o impacto). - Mostrar que a velocidade inicial deve obedecer a
para que essa solução seja válida, e explicar o que essa condição garante.
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e escrever as componentes iniciais da velocidade do dardo.
- Adoto o eixo
horizontal, apontando do atirador para a árvore, e o eixo vertical, positivo para cima. O atirador está em , o macaco inicialmente em . - A pessoa aponta diretamente para o macaco. O vetor que liga o atirador ao macaco tem direção com cosseno e seno dados por
onde
é o ângulo de mira em relação à horizontal.
- A velocidade inicial do dardo tem componentes (decompomos a velocidade em horizontal e vertical):
Explicação didática curta: decompor uma velocidade significa escrever a velocidade ao longo dos eixos
e
. As projeções usam seno e cosseno da direção de tiro.
Passo 3
Escrever as equações do movimento do dardo e do macaco (movimento sob gravidade).
- Para o dardo (movimento de projétil, desprezando resistência do ar), as equações paramétricas são
onde
é o tempo desde o disparo e
é a aceleração da gravidade (positiva; o sinal negativo em
mostra que a gravidade puxa para baixo).
- Para o macaco, que solta sem velocidade inicial vertical e não se move horizontalmente ao soltar-se (assumimos que cai verticalmente), as equações são
Observação didática: ambos sofrem a mesma aceleração vertical
, mas o macaco não tem componente horizontal de velocidade após soltar-se.
Passo 4
Encontrar o tempo
em que o dardo atinge a árvore (ou seja, quando
).
- Igualando
a :
- Substituindo
:
- Desde que
, cancelando :
Breve comentário: esse é o tempo que o dardo leva para percorrer a distância radial até a árvore ao longo da componente horizontal da sua velocidade.
Passo 5
Calcular as alturas
e
e mostrar que coincidem (prova de que o dardo atinge o macaco).
- Primeiro
:
Substituindo
e
:
- Simplificando a primeira parcela (os
e cancelam):
- Agora
:
- Como as duas expressões são idênticas, concluímos que, no instante em que o dardo chega à vertical do macaco (à árvore), o dardo e o macaco têm a mesma coordenada vertical
. Portanto o dardo atinge o macaco. Física intuitiva: ambos caem verticalmente sob a mesma aceleração , então o fato de o dardo ter componente vertical inicial (apontado para o macaco) compensa; a queda vertical é a mesma função do tempo.
Passo 6
Escrever explicitamente a coordenada
do encontro e obter a condição sobre
para que essa altura seja acima do solo.
- A coordenada vertical do encontro é
Essa é a resposta para a altura do macaco quando for atingido (expressa em termos de
).
- Para que o encontro seja fisicamente válido antes do macaco atingir o chão, precisamos que
seja positiva (acima do chão, assumindo que o solo está em ). Então exigimos
- Rearranjando essa desigualdade para obter uma condição sobre
:
Tomando raiz positiva (visto que
):
- Interpretação física da condição: ela garante que o tempo
até o dardo atingir a árvore seja curto o suficiente para que o macaco ainda não tenha atingido o chão. Em outras palavras, garante que a altura encontrada seja , ou seja, o encontro ocorre acima do solo.
Passo 7
Resumo final e observação física qualitativa.
- Concluímos matematicamente que, se o atirador aponta diretamente para o macaco e dispara no mesmo instante em que o macaco solta-se, o dardo e o macaco têm a mesma coordenada vertical no instante em que o dardo alcança a vertical da árvore, portanto o dardo acerta o macaco (independente do valor de
, desde que seja suficiente para chegar antes do chão). - A expressão da altura do encontro é
. - A condição
assegura que , isto é, o dardo alcança o macaco antes deste atingir o chão.
Resposta
Garante que o dardo alcance a árvore (e, portanto, atinja o macaco) antes do macaco atingir o solo (isto é, garante
).