Um macaco está pendurado a uma altura h, e uma pessoa a uma distância horizontal d da árvore, no chão, quer atingi-lo com um dardo tranquilizante. Ele aponta diretamente para o macaco e dispara, e o macaco se solta no mesmo instante.
Mostre que a pessoa terá sucesso e encontre a coordenada y do macaco quando ele for atingido. Mostre que a velocidade inicial deve obedecer a v_{0}>\sqrt{\left(d^{2}+h^{2}\right) g / 2 h} para que essa seja uma solução válida. O que essa condição garante?
Dicas: escreva as equações para as coordenadas x e y do dardo e do macaco. Mostre que, quando o dardo atinge a árvore, o dardo e o macaco têm a mesma coordenada y. A condição sobre \mathrm{v}_{0} garante que o dardo consiga alcançar a árvore antes que o macaco atinja o chão.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
  • Um macaco está inicialmente pendurado no tronco a uma altura h acima do chão e a distância horizontal d do atirador (ou seja, a posição inicial do macaco é (x,y)=(d,h)).
  • A pessoa está no chão a uma distância horizontal d da árvore (posição do atirador: (0,0)).
  • No instante do disparo o macaco solta-se (velocidade vertical inicial do macaco igual a zero).
  • A pessoa aponta diretamente para o macaco e dispara um dardo com velocidade inicial de módulo v_{0} ao longo da linha que liga o atirador ao macaco no instante inicial.
O que o enunciado pede:
  1. Mostrar que o dardo atinge o macaco (isto é, demonstrar que, no ponto de encontro sobre a árvore, as coordenadas são iguais).
  2. Encontrar a coordenada y do macaco no instante em que é atingido (ou seja, a altura onde ocorre o impacto).
  3. Mostrar que a velocidade inicial deve obedecer a \displaystyle v_{0}>\sqrt{\dfrac{(d^{2}+h^{2})\,g}{2h}} para que essa solução seja válida, e explicar o que essa condição garante.

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e escrever as componentes iniciais da velocidade do dardo.
  • Adoto o eixo x horizontal, apontando do atirador para a árvore, e o eixo y vertical, positivo para cima. O atirador está em (0,0), o macaco inicialmente em (d,h).
  • A pessoa aponta diretamente para o macaco. O vetor que liga o atirador ao macaco tem direção com cosseno e seno dados por
\cos\theta=\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}},\qquad \sin\theta=\dfrac{h}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}},
onde \theta é o ângulo de mira em relação à horizontal.
  • A velocidade inicial do dardo tem componentes (decompomos a velocidade em horizontal e vertical):
v_{0x}=v_{0}\cos\theta = v_{0}\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}},\qquad v_{0y}=v_{0}\sin\theta = v_{0}\dfrac{h}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}.
Explicação didática curta: decompor uma velocidade significa escrever a velocidade ao longo dos eixos x e y. As projeções usam seno e cosseno da direção de tiro.

Passo 3

Escrever as equações do movimento do dardo e do macaco (movimento sob gravidade).
  • Para o dardo (movimento de projétil, desprezando resistência do ar), as equações paramétricas são
x_{\text{dardo}}(t)=v_{0x}\,t,
y_{\text{dardo}}(t)=v_{0y}\,t-\dfrac{1}{2}g t^{2},
onde t é o tempo desde o disparo e g é a aceleração da gravidade (positiva; o sinal negativo em y mostra que a gravidade puxa para baixo).
  • Para o macaco, que solta sem velocidade inicial vertical e não se move horizontalmente ao soltar-se (assumimos que cai verticalmente), as equações são
x_{\text{macaco}}(t)=d,
y_{\text{macaco}}(t)=h-\dfrac{1}{2}g t^{2}.
Observação didática: ambos sofrem a mesma aceleração vertical -g, mas o macaco não tem componente horizontal de velocidade após soltar-se.

Passo 4

Encontrar o tempo t^{*} em que o dardo atinge a árvore (ou seja, quando x_{\text{dardo}}(t)=d).
  • Igualando x_{\text{dardo}}(t) a d:
v_{0x}\,t^{*}=d.
  • Substituindo v_{0x}=v_{0}\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}:
v_{0}\dfrac{d}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}\,t^{*}=d.
  • Desde que d\neq0, cancelando d:
v_{0}\dfrac{1}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}\,t^{*}=1 \quad\Rightarrow\quad t^{*}=\dfrac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}}.
Breve comentário: esse é o tempo que o dardo leva para percorrer a distância radial até a árvore ao longo da componente horizontal da sua velocidade.

Passo 5

Calcular as alturas y_{\text{dardo}}(t^{*}) e y_{\text{macaco}}(t^{*}) e mostrar que coincidem (prova de que o dardo atinge o macaco).
  • Primeiro y_{\text{dardo}}(t^{*}):
y_{\text{dardo}}(t^{*})=v_{0y}\,t^{*}-\dfrac{1}{2}g {t^{*}}^{2}.
Substituindo v_{0y}=v_{0}\dfrac{h}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}} e t^{*}=\dfrac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}}:
y_{\text{dardo}}(t^{*}) = v_{0}\dfrac{h}{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}\cdot\dfrac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}} -\dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}}\right)^{2}.
  • Simplificando a primeira parcela (os \sqrt{d^{2}+h^{2}} e v_{0} cancelam):
y_{\text{dardo}}(t^{*}) = h - \dfrac{1}{2}g\,\dfrac{d^{2}+h^{2}}{v_{0}^{2}}.
  • Agora y_{\text{macaco}}(t^{*}):
y_{\text{macaco}}(t^{*}) = h - \dfrac{1}{2}g {t^{*}}^{2} = h - \dfrac{1}{2}g\left(\dfrac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}}\right)^{2} = h - \dfrac{1}{2}g\,\dfrac{d^{2}+h^{2}}{v_{0}^{2}}.
  • Como as duas expressões são idênticas, concluímos que, no instante em que o dardo chega à vertical do macaco (à árvore), o dardo e o macaco têm a mesma coordenada vertical y. Portanto o dardo atinge o macaco. Física intuitiva: ambos caem verticalmente sob a mesma aceleração -g, então o fato de o dardo ter componente vertical inicial (apontado para o macaco) compensa; a queda vertical é a mesma função do tempo.

Passo 6

Escrever explicitamente a coordenada y do encontro e obter a condição sobre v_{0} para que essa altura seja acima do solo.
  • A coordenada vertical do encontro é
y = h - \dfrac{1}{2}g\,\dfrac{d^{2}+h^{2}}{v_{0}^{2}}.
Essa é a resposta para a altura do macaco quando for atingido (expressa em termos de d,h,g,v_{0}).
  • Para que o encontro seja fisicamente válido antes do macaco atingir o chão, precisamos que y seja positiva (acima do chão, assumindo que o solo está em y=0). Então exigimos
h - \dfrac{1}{2}g\,\dfrac{d^{2}+h^{2}}{v_{0}^{2}}>0.
  • Rearranjando essa desigualdade para obter uma condição sobre v_{0}:
\dfrac{1}{2}g\,\dfrac{d^{2}+h^{2}}{v_{0}^{2}}<h \quad\Rightarrow\quad v_{0}^{2}>\dfrac{(d^{2}+h^{2})\,g}{2h}.
Tomando raiz positiva (visto que v_{0}>0):
v_{0}>\sqrt{\dfrac{(d^{2}+h^{2})\,g}{2h}}.
  • Interpretação física da condição: ela garante que o tempo t^{*}=\dfrac{\sqrt{d^{2}+h^{2}}}{v_{0}} até o dardo atingir a árvore seja curto o suficiente para que o macaco ainda não tenha atingido o chão. Em outras palavras, garante que a altura y encontrada seja y>0, ou seja, o encontro ocorre acima do solo.

Passo 7

Resumo final e observação física qualitativa.
  • Concluímos matematicamente que, se o atirador aponta diretamente para o macaco e dispara no mesmo instante em que o macaco solta-se, o dardo e o macaco têm a mesma coordenada vertical no instante em que o dardo alcança a vertical da árvore, portanto o dardo acerta o macaco (independente do valor de v_{0}, desde que seja suficiente para chegar antes do chão).
  • A expressão da altura do encontro é \displaystyle y=h-\dfrac{g(d^{2}+h^{2})}{2v_{0}^{2}}.
  • A condição \displaystyle v_{0}>\sqrt{\dfrac{(d^{2}+h^{2})\,g}{2h}} assegura que y>0, isto é, o dardo alcança o macaco antes deste atingir o chão.

Resposta

\displaystyle y=h-\dfrac{g\left(d^{2}+h^{2}\right)}{2v_{0}^{2}}
\displaystyle v_{0}>\sqrt{\dfrac{\left(d^{2}+h^{2}\right)g}{2h}}
Garante que o dardo alcance a árvore (e, portanto, atinja o macaco) antes do macaco atingir o solo (isto é, garante y>0).

Exercícios relacionados