Um projétil é lançado com velocidade \mathrm{v}_{0} a um ângulo \theta acima da horizontal a partir de um canhão ao pé de uma colina com inclinação \alpha.
(i) Qual é o alcance R (medido ao longo da colina)? Dica: qual é a relação entre x e y quando ele atinge a colina?
(ii) Mostre que, para que R seja máximo, é necessário que
\cos (2 \theta)+\sin (2 \theta) \cdot \tan \alpha=0
ou \theta=\pi / 4+\alpha / 2 \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(i) Calcular o alcance R medido ao longo da colina (ou seja, a distância desde o canhão até o ponto de impacto, medida sobre a reta inclinada da colina).
(ii) Mostrar que, para que R seja máximo, é necessário que
\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\,\tan\alpha=0
ou equivalentemente que
\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}.
Informações dadas e suposições que vamos usar (todas retiradas do enunciado):
  • Velocidade inicial: v_0.
  • Ângulo de lançamento acima da horizontal: \theta.
  • A colina é uma reta inclinada de ângulo \alpha acima da horizontal.
  • A origem do sistema de coordenadas é o ponto de lançamento (pé da colina).
  • A aceleração gravitacional é g (vertical para baixo).
  • Queremos o ponto de interseção entre a trajetória do projétil e a reta da colina e a distância ao longo da colina até esse ponto.

Passo 2

Escolher coordenadas e escrever as equações paramétricas do movimento: tomar eixo x horizontal para a direita e eixo y vertical para cima, com origem no canhão. As equações do projétil (movimento com aceleração vertical -g) são:
x(t)=v_0\cos\theta\;t,
y(t)=v_0\sin\theta\;t-\frac{1}{2}g t^2.
A reta que representa a superfície da colina (passando pela origem com inclinação \alpha) tem equação
y=x\tan\alpha.
No ponto de impacto essas duas curvas se encontram, portanto devemos impor y(t)=x(t)\tan\alpha.

Passo 3

A condição de interseção é
v_0\sin\theta\;t-\frac{1}{2}g t^2 = v_0\cos\theta\;t\tan\alpha.
Colocando todos os termos no lado esquerdo e fatorando t (a solução t=0 corresponde ao lançamento):
t\Big(v_0\sin\theta - v_0\cos\theta\tan\alpha -\frac{1}{2}g t\Big)=0.
A solução não-trivial (tempo de voo até o impacto) vem de
\frac{1}{2}g t = v_0\big(\sin\theta - \cos\theta\tan\alpha\big).
Portanto
t_{\text{impact}}=\frac{2v_0}{g}\big(\sin\theta - \cos\theta\tan\alpha\big).
Observação didática: esse tempo deve ser positivo; a diferença \sin\theta-\cos\theta\tan\alpha representa a componente vertical inicial efetiva em relação à inclinação da colina.

Passo 4

Agora calculamos a coordenada x do ponto de impacto usando x(t)=v_0\cos\theta\;t. Substituindo t_{\text{impact}}:
x_{\text{impact}} = v_0\cos\theta\cdot \frac{2v_0}{g}\big(\sin\theta - \cos\theta\tan\alpha\big).
Simplificando:
x_{\text{impact}}=\frac{2v_0^2}{g}\Big(\cos\theta\sin\theta - \cos^2\theta\tan\alpha\Big).

Passo 5

Converter as expressões trigonométricas para formas úteis. Usar as identidades:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta, \qquad \cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1.
Com isso,
\cos\theta\sin\theta=\frac{1}{2}\sin(2\theta),
\cos^2\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Substituindo em x_{\text{impact}}:
x_{\text{impact}}=\frac{2v_0^2}{g}\left(\frac{1}{2}\sin(2\theta)-\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\tan\alpha\right).
Cancelando o fator 1/2:
x_{\text{impact}}=\frac{v_0^2}{g}\Big(\sin(2\theta)-(1+\cos(2\theta))\tan\alpha\Big).

Passo 6

A distância ao longo da colina desde a origem até o ponto (x_{\text{impact}},y_{\text{impact}}) é o comprimento ao longo da reta inclinada. Se chamarmos essa distância de R, então as coordenadas ao longo da colina obedecem
x=R\cos\alpha,\qquad y=R\sin\alpha.
Assim
R=\frac{x_{\text{impact}}}{\cos\alpha}.
Substituindo a expressão de x_{\text{impact}}:
R=\frac{v_0^2}{g\cos\alpha}\Big(\sin(2\theta)-(1+\cos(2\theta))\tan\alpha\Big).
Esta é a fórmula do alcance medido ao longo da colina (resposta do item (i)). Podemos reorganizar se quisermos, por exemplo:
R=\frac{v_0^2}{g\cos\alpha}\big(\sin(2\theta)-\tan\alpha -\cos(2\theta)\tan\alpha\big).

Passo 7

Agora vamos encontrar a condição para R ser máximo em relação ao ângulo \theta. Como os fatores \dfrac{v_0^2}{g\cos\alpha} e \tan\alpha dependem apenas de constantes do problema, é suficiente derivar a parte entre parênteses em relação a \theta e igualar a zero. Definindo
f(\theta)=\sin(2\theta)-(1+\cos(2\theta))\tan\alpha,
temos
\frac{dR}{d\theta}=\frac{v_0^2}{g\cos\alpha}\,f'(\theta).
Calcular f'(\theta). Derivando termo a termo:
\frac{d}{d\theta}\sin(2\theta)=2\cos(2\theta),
\frac{d}{d\theta}\big(1+\cos(2\theta)\big)\tan\alpha = (-2\sin(2\theta))\tan\alpha.
Portanto
f'(\theta)=2\cos(2\theta)+2\sin(2\theta)\tan\alpha.

Passo 8

Impor condição de extremum dR/d\theta=0 implica f'(\theta)=0. Assim:
2\cos(2\theta)+2\sin(2\theta)\tan\alpha=0.
Dividindo por 2 obtemos exatamente a condição pedida:
\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\tan\alpha=0.
Isto responde a primeira parte do item (ii): a condição necessária para um extremo de R é essa equação trigonométrica.

Passo 9

Resolver a equação para \theta. A equação pode ser rearranjada como
\cos(2\theta) = -\sin(2\theta)\tan\alpha.
Se \sin(2\theta)\neq 0 (caso trivial \sin(2\theta)=0 dá extremos degenerados), podemos dividir por \cos(2\theta) ou manipular usando tangentes. Uma forma direta é:
\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\tan\alpha=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\cos(2\theta)}{\sin(2\theta)} = -\tan\alpha.
Assim
\cot(2\theta) = -\tan\alpha.
Invertendo,
\tan(2\theta) = -\cot\alpha = \tan\!\big(-(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)\big).
Portanto uma solução é
2\theta = -\big(\tfrac{\pi}{2}-\alpha\big) + k\pi = \alpha - \tfrac{\pi}{2} + k\pi,
para algum inteiro k. Dividindo por 2:
\theta = \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}.
Escolhendo a solução adequada no intervalo usual de lançamento 0<\theta<\pi/2 (tomando k=1) obtemos
\theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}.
Esta é a expressão pedida no enunciado.

Passo 10

Verificação rápida de que essa solução corresponde a um máximo (não a um mínimo): podemos examinar a segunda derivada em relação a \theta. Lembrando que
f'(\theta)=2\big(\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\tan\alpha\big),
derivando novamente:
f''(\theta)=2\big(-2\sin(2\theta)+2\cos(2\theta)\tan\alpha\big)=4\big(-\sin(2\theta)+\cos(2\theta)\tan\alpha\big).
Usando a condição de extremum \cos(2\theta)=-\sin(2\theta)\tan\alpha e substituindo, obtemos
f''(\theta) = 4\big(-\sin(2\theta) - \sin(2\theta)\tan^2\alpha\big) = -4\sin(2\theta)\big(1+\tan^2\alpha\big).
Como 1+\tan^2\alpha=\operatorname{sec}^2\alpha>0 e, para a solução \theta=\tfrac{\pi}{4}+\tfrac{\alpha}{2}, temos \sin(2\theta)=\sin(\tfrac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha>0 para 0\le\alpha<\tfrac{\pi}{2}, conclui-se que f''(\theta)<0. Logo é um ponto de máximo. Assim a solução escolhida dá o máximo de R.

Resposta

R=\frac{v_0^2}{g\cos\alpha}\Big(\sin(2\theta)-(1+\cos(2\theta))\tan\alpha\Big)
\cos(2\theta)+\sin(2\theta)\tan\alpha=0\quad\Longrightarrow\quad \theta=\frac{\pi}{4}+\frac{\alpha}{2}

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