Um projétil é lançado com velocidade
a um ângulo
acima da horizontal a partir de um canhão ao pé de uma colina com inclinação
.
(i) Qual é o alcance R (medido ao longo da colina)? Dica: qual é a relação entre x e y quando ele atinge a colina?
(ii) Mostre que, para que R seja máximo, é necessário que
ou
.
(i) Qual é o alcance R (medido ao longo da colina)? Dica: qual é a relação entre x e y quando ele atinge a colina?
(ii) Mostre que, para que R seja máximo, é necessário que
ou
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(i) Calcular o alcance
medido ao longo da colina (ou seja, a distância desde o canhão até o ponto de impacto, medida sobre a reta inclinada da colina).
(ii) Mostrar que, para que
seja máximo, é necessário que
ou equivalentemente que
Informações dadas e suposições que vamos usar (todas retiradas do enunciado):
- Velocidade inicial:
. - Ângulo de lançamento acima da horizontal:
. - A colina é uma reta inclinada de ângulo
acima da horizontal. - A origem do sistema de coordenadas é o ponto de lançamento (pé da colina).
- A aceleração gravitacional é
(vertical para baixo). - Queremos o ponto de interseção entre a trajetória do projétil e a reta da colina e a distância ao longo da colina até esse ponto.
Passo 2
Escolher coordenadas e escrever as equações paramétricas do movimento: tomar eixo
horizontal para a direita e eixo
vertical para cima, com origem no canhão. As equações do projétil (movimento com aceleração vertical
) são:
A reta que representa a superfície da colina (passando pela origem com inclinação
) tem equação
No ponto de impacto essas duas curvas se encontram, portanto devemos impor
.
Passo 3
A condição de interseção é
Colocando todos os termos no lado esquerdo e fatorando
(a solução
corresponde ao lançamento):
A solução não-trivial (tempo de voo até o impacto) vem de
Portanto
Observação didática: esse tempo deve ser positivo; a diferença
representa a componente vertical inicial efetiva em relação à inclinação da colina.
Passo 4
Agora calculamos a coordenada
do ponto de impacto usando
. Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Converter as expressões trigonométricas para formas úteis. Usar as identidades:
Com isso,
Substituindo em
:
Cancelando o fator
:
Passo 6
A distância ao longo da colina desde a origem até o ponto
é o comprimento ao longo da reta inclinada. Se chamarmos essa distância de
, então as coordenadas ao longo da colina obedecem
Assim
Substituindo a expressão de
:
Esta é a fórmula do alcance medido ao longo da colina (resposta do item (i)). Podemos reorganizar se quisermos, por exemplo:
Passo 7
Agora vamos encontrar a condição para
ser máximo em relação ao ângulo
. Como os fatores
e
dependem apenas de constantes do problema, é suficiente derivar a parte entre parênteses em relação a
e igualar a zero. Definindo
temos
Calcular
. Derivando termo a termo:
Portanto
Passo 8
Impor condição de extremum
implica
. Assim:
Dividindo por
obtemos exatamente a condição pedida:
Isto responde a primeira parte do item (ii): a condição necessária para um extremo de
é essa equação trigonométrica.
Passo 9
Resolver a equação para
. A equação pode ser rearranjada como
Se
(caso trivial
dá extremos degenerados), podemos dividir por
ou manipular usando tangentes. Uma forma direta é:
Assim
Invertendo,
Portanto uma solução é
para algum inteiro
. Dividindo por
:
Escolhendo a solução adequada no intervalo usual de lançamento
(tomando
) obtemos
Esta é a expressão pedida no enunciado.
Passo 10
Verificação rápida de que essa solução corresponde a um máximo (não a um mínimo): podemos examinar a segunda derivada em relação a
. Lembrando que
derivando novamente:
Usando a condição de extremum
e substituindo, obtemos
Como
e, para a solução
, temos
para
, conclui-se que
. Logo é um ponto de máximo. Assim a solução escolhida dá o máximo de
.