Considere a distribuição Exponencial Deslocada com f.d.p. dada por:
f(x)=\lambda e^{-\lambda(x-\mu)}, \quad x \geq \mu, \quad \lambda>0
Sabendo que E(X)=\mu+\frac{1}{\lambda} e \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}, obtenha os estimadores de momentos para \mu e \lambda.

Passo 1

O enunciado dá a densidade da distribuição Exponencial Deslocada e as expressões dos momentos populacionais:
f(x)=\lambda e^{-\lambda(x-\mu)}, \quad x\ge\mu,\quad \lambda>0
e informa que
E(X)=\mu+\frac{1}{\lambda},\qquad \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}.
O que o problema pede: obter os estimadores pelo método dos momentos para os parâmetros \mu e \lambda. Ou seja, a partir de uma amostra X_{1},\dots,X_{n} devemos fornecer \hat\mu e \hat\lambda obtidos igualando momentos teóricos a momentos amostrais.
Passo 2
Explicando o método dos momentos (passo-a-passo e sem pressa): a ideia é substituir os momentos populacionais por seus correspondentes amostrais e resolver o sistema para os parâmetros. Precisamos de duas equações porque há dois parâmetros. Vamos usar:
  • a primeira momento amostral (média amostral)
\bar X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i,
que estima E(X); e
  • a segunda momento central amostral (variância amostral com denominador n, usada em método dos momentos)
M_2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2,
que estima \operatorname{Var}(X).
Passo 3
Escrevendo as equações do método dos momentos: igualamos os momentos teóricos aos amostrais.
Primeira equação (média):
\bar X = E(X)=\mu+\frac{1}{\lambda}.
Segunda equação (variância):
M_2 = \operatorname{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^{2}}.
Estas duas equações formam um sistema simples em \mu e \lambda.
Passo 4
Resolver a segunda equação para \lambda. A equação é
M_2=\frac{1}{\lambda^{2}}.
Isolando \lambda obtemos
\lambda^{2}=\frac{1}{M_2}\quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{1}{\sqrt{M_2}}.
Justificação: tomamos a raiz positiva porque \lambda>0.
Passo 5
Substituir \hat\lambda na primeira equação para obter \hat\mu. Da primeira equação temos
\mu=\bar X-\frac{1}{\lambda}.
Substituindo \lambda=\dfrac{1}{\sqrt{M_2}}
\mu=\bar X-\frac{1}{1/\sqrt{M_2}}=\bar X-\sqrt{M_2}.
Passo 6
Escrever os estimadores explicitamente em termos da amostra. Lembrando que M_2=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2, os estimadores pelo método dos momentos são:
\hat\lambda=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right)^{-1/2},
\hat\mu=\bar X-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right)^{1/2}.
Comentário didático rápido: aqui usei a variância amostral com denominador n porque o método dos momentos emparelha momentos brutos/centrados pela média amostral; se alguém usar a variância amostral com denominador n-1 (a versão não-viesada), obterá um estimador ligeiramente diferente para \lambda — isso é uma questão prática, mas o procedimento do método dos momentos segue como acima.
Passo 7
Recapitulando em palavras simples: primeiro igualei a média amostral à média teórica para vincular \mu e \lambda; depois igualei a variância amostral à variância teórica para obter \lambda diretamente; por fim voltei na primeira equação para obter \mu. Pronto — voilà! Estimadores obtidos. Força nos estudos — esse tipo de manipulação é padrão em método dos momentos e dá para fazer rápido na prova.

Resposta

\hat\lambda=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right)^{-1/2}
\hat\mu=\bar X-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\right)^{1/2}

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