Considere a distribuição Exponencial Deslocada com f.d.p. dada por:
Sabendo que
e
, obtenha os estimadores de momentos para
e
.
Passo 1
O enunciado dá a densidade da distribuição Exponencial Deslocada e as expressões dos momentos populacionais:
e informa que
O que o problema pede: obter os estimadores pelo método dos momentos para os parâmetros
e
. Ou seja, a partir de uma amostra
devemos fornecer
e
obtidos igualando momentos teóricos a momentos amostrais.
Passo 2
Explicando o método dos momentos (passo-a-passo e sem pressa): a ideia é substituir os momentos populacionais por seus correspondentes amostrais e resolver o sistema para os parâmetros. Precisamos de duas equações porque há dois parâmetros. Vamos usar:
Explicando o método dos momentos (passo-a-passo e sem pressa): a ideia é substituir os momentos populacionais por seus correspondentes amostrais e resolver o sistema para os parâmetros. Precisamos de duas equações porque há dois parâmetros. Vamos usar:
- a primeira momento amostral (média amostral)
que estima
; e
- a segunda momento central amostral (variância amostral com denominador
, usada em método dos momentos)
que estima
.
Passo 3
Escrevendo as equações do método dos momentos: igualamos os momentos teóricos aos amostrais.
Primeira equação (média):
Escrevendo as equações do método dos momentos: igualamos os momentos teóricos aos amostrais.
Primeira equação (média):
Segunda equação (variância):
Estas duas equações formam um sistema simples em
e
.
Passo 4
Resolver a segunda equação para . A equação é
Resolver a segunda equação para
Isolando
obtemos
Justificação: tomamos a raiz positiva porque
.
Passo 5
Substituir na primeira equação para obter
. Da primeira equação temos
Substituir
Substituindo
dá
Passo 6
Escrever os estimadores explicitamente em termos da amostra. Lembrando que , os estimadores pelo método dos momentos são:
Escrever os estimadores explicitamente em termos da amostra. Lembrando que
Comentário didático rápido: aqui usei a variância amostral com denominador
porque o método dos momentos emparelha momentos brutos/centrados pela média amostral; se alguém usar a variância amostral com denominador
(a versão não-viesada), obterá um estimador ligeiramente diferente para
— isso é uma questão prática, mas o procedimento do método dos momentos segue como acima.
Passo 7
Recapitulando em palavras simples: primeiro igualei a média amostral à média teórica para vincular e
; depois igualei a variância amostral à variância teórica para obter
diretamente; por fim voltei na primeira equação para obter
. Pronto — voilà! Estimadores obtidos. Força nos estudos — esse tipo de manipulação é padrão em método dos momentos e dá para fazer rápido na prova.
Recapitulando em palavras simples: primeiro igualei a média amostral à média teórica para vincular