Seja X \sim Uniforme (-\theta, \theta), \operatorname{com} \theta>0.
(a) Mostre que o primeiro momento populacional E(X) não fornece informações sobre \theta.
(b) Obtenha o estimador de momentos para \theta utilizando o segundo momento E\left(X^{2}\right).
Passo 1
O enunciado e o que ele pede:
Recebemos a variável aleatória X com distribuição Uniforme em (-\theta,\theta), com \theta>0.
Perguntas:
Mostrar que o primeiro momento populacional E(X) não fornece informação sobre \theta.
Obter o estimador de momentos para \theta usando o segundo momento E\left(X^{2}\right).
Informações relevantes dadas:
A densidade de X é constante em (-\theta,\theta) e zero fora.
Vamos supor que há uma amostra aleatória i.i.d. \,X_{1},\dots,X_{n}\, dessa distribuição quando formos aplicar o método dos momentos.
Passo 2
Definir a densidade e calcular E(X) a partir da definição integral (passo-a-passo didático).
A densidade de probabilidade de X é
Continuar a avaliação da expressão de E(X) e interpretar o resultado.
Observe que (-\theta)^{2}=\theta^{2}, então o numerador fica
\frac{\theta^{2}}{2}-\frac{\theta^{2}}{2}=0.
Portanto
E(X)=0.
Interpretação intuitiva (sem cálculo): a função densidade é simétrica em torno de 0, logo as contribuições positivas e negativas de x se cancelam — por isso o primeiro momento não depende de \theta, é sempre zero.
Passo 4
Concluir a parte (a) com a implicação prática para estimar \theta.
Se tentarmos usar o método dos momentos com o primeiro momento, na amostra teríamos a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
Igualando \overline{X} a E(X) obtém-se \overline{X}=0. Isso não permite resolver para \theta (não aparece \theta na igualdade), portanto o primeiro momento não fornece informação sobre \theta. Em termos práticos: a média amostral tende a zero, independente de \theta, então não serve para estimar \theta.
Passo 5
Calcular o segundo momento populacional E(X^{2}) (passo-a-passo).
Pela definição,
Apresentar o método dos momentos e formar a equação para estimar \theta.
Ideia do método dos momentos (explicação didática): escolhemos um momento populacional \mu_k=E(X^{k}) que dependa de \theta, igualamos esse momento à respectiva média amostral m_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^{k} e resolvemos para \theta. Aqui o primeiro momento não serve, então usamos o segundo momento.
Defina o momento amostral de ordem 2:
m_{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}.
Pelo método dos momentos, impomos
m_{2}=E(X^{2})=\frac{\theta^{2}}{3}.
Passo 7
Resolver a igualdade para \theta e escolher a raiz apropriada (detalhes).
Da igualdade
Comentário curto sobre a escolha do sinal: a raiz positiva é a correta porque \theta>0.
Passo 8
Observação prática sobre propriedades (curta, motivadora).
Razoabilidade: pela Lei dos Grandes Números, m_{2}=\dfrac{1}{n}\sum X_i^{2} converge em probabilidade para E(X^{2})=\theta^{2}/3, então \widehat{\theta}_{\text{MM}} é um estimador consistente de \theta. Sobre viés: este estimador não é, em geral, não-viesado (ou seja, E(\widehat{\theta}_{\text{MM}})\neq\theta em amostras finitas), mas é simples e consistente — e muitas vezes serve bem como estimador inicial.