Seja X \sim Uniforme (-\theta, \theta), \operatorname{com} \theta>0.
(a) Mostre que o primeiro momento populacional E(X) não fornece informações sobre \theta.
(b) Obtenha o estimador de momentos para \theta utilizando o segundo momento E\left(X^{2}\right).

Passo 1

O enunciado e o que ele pede:
  • Recebemos a variável aleatória X com distribuição Uniforme em (-\theta,\theta), com \theta>0.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que o primeiro momento populacional E(X) não fornece informação sobre \theta.
    2. Obter o estimador de momentos para \theta usando o segundo momento E\left(X^{2}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A densidade de X é constante em (-\theta,\theta) e zero fora.
  • Vamos supor que há uma amostra aleatória i.i.d. \,X_{1},\dots,X_{n}\, dessa distribuição quando formos aplicar o método dos momentos.

Passo 2

Definir a densidade e calcular E(X) a partir da definição integral (passo-a-passo didático).
A densidade de probabilidade de X é
f_X(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{2\theta}, & -\theta<x<\theta,\\[6pt] 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á
Pela definição do valor esperado (primeiro momento),
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x\,f_X(x)\,dx=\int_{-\theta}^{\theta} x\cdot \frac{1}{2\theta}\,dx.
Agora calculamos a integral explicitamente:
E(X)=\frac{1}{2\theta}\int_{-\theta}^{\theta} x\,dx=\frac{1}{2\theta}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-\theta}^{\theta} =\frac{1}{2\theta}\left(\frac{\theta^{2}}{2}-\frac{(-\theta)^{2}}{2}\right).]

Passo 3

Continuar a avaliação da expressão de E(X) e interpretar o resultado.
Observe que (-\theta)^{2}=\theta^{2}, então o numerador fica
\frac{\theta^{2}}{2}-\frac{\theta^{2}}{2}=0.
Portanto
E(X)=0.
Interpretação intuitiva (sem cálculo): a função densidade é simétrica em torno de 0, logo as contribuições positivas e negativas de x se cancelam — por isso o primeiro momento não depende de \theta, é sempre zero.

Passo 4

Concluir a parte (a) com a implicação prática para estimar \theta.
Se tentarmos usar o método dos momentos com o primeiro momento, na amostra teríamos a média amostral
\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
Igualando \overline{X} a E(X) obtém-se \overline{X}=0. Isso não permite resolver para \theta (não aparece \theta na igualdade), portanto o primeiro momento não fornece informação sobre \theta. Em termos práticos: a média amostral tende a zero, independente de \theta, então não serve para estimar \theta.

Passo 5

Calcular o segundo momento populacional E(X^{2}) (passo-a-passo).
Pela definição,
E(X^{2})=\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} f_X(x)\,dx=\int_{-\theta}^{\theta} x^{2}\cdot\frac{1}{2\theta}\,dx.
Avalia-se a integral:
E(X^{2})=\frac{1}{2\theta}\int_{-\theta}^{\theta} x^{2}\,dx =\frac{1}{2\theta}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-\theta}^{\theta} =\frac{1}{2\theta}\left(\frac{\theta^{3}-(-\theta)^{3}}{3}\right).
Como (- \theta)^{3}=-\theta^{3}, isso dá
E(X^{2})=\frac{1}{2\theta}\cdot\frac{2\theta^{3}}{3}=\frac{\theta^{2}}{3}.

Passo 6

Apresentar o método dos momentos e formar a equação para estimar \theta.
Ideia do método dos momentos (explicação didática): escolhemos um momento populacional \mu_k=E(X^{k}) que dependa de \theta, igualamos esse momento à respectiva média amostral m_k=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i^{k} e resolvemos para \theta. Aqui o primeiro momento não serve, então usamos o segundo momento.
Defina o momento amostral de ordem 2:
m_{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}.
Pelo método dos momentos, impomos
m_{2}=E(X^{2})=\frac{\theta^{2}}{3}.

Passo 7

Resolver a igualdade para \theta e escolher a raiz apropriada (detalhes).
Da igualdade
\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}=\frac{\theta^{2}}{3}
isolamos \theta:
\theta^{2}=3\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}
e tomando a raiz quadrada (lembrando que \theta>0) obtemos o estimador de momentos
\widehat{\theta}_{\text{MM}}=\sqrt{\,3\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}\,} =\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}}.
Comentário curto sobre a escolha do sinal: a raiz positiva é a correta porque \theta>0.

Passo 8

Observação prática sobre propriedades (curta, motivadora).
Razoabilidade: pela Lei dos Grandes Números, m_{2}=\dfrac{1}{n}\sum X_i^{2} converge em probabilidade para E(X^{2})=\theta^{2}/3, então \widehat{\theta}_{\text{MM}} é um estimador consistente de \theta. Sobre viés: este estimador não é, em geral, não-viesado (ou seja, E(\widehat{\theta}_{\text{MM}})\neq\theta em amostras finitas), mas é simples e consistente — e muitas vezes serve bem como estimador inicial.

Resposta

(a) E(X)=0.
(b) \displaystyle \widehat{\theta}_{\text{MM}}=\sqrt{\frac{3}{n}\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2}}.

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